[论文解读] Internal Language of Finitely Complete $(\infty, 1)$-categories

Chris Kapulkin, Karol Szumiło|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文建立了乔yal的部落（tribes）的同伦理论与纤维化范畴之间的等价性，证明部落提供了一个与纤维化范畴同伦等价的范畴理论框架。作为结果，它支持了一个变体的猜想：依赖求和与可意性等式类型的马丁-洛夫类型理论（Martin-Löf Type Theory）是具有有限极限的$(\infty, 1)$-范畴的内部语言。

ABSTRACT

We prove that the homotopy theory of Joyal's tribes is equivalent to that of fibration categories. As a consequence, we deduce a variant of the conjecture asserting that Martin-Lof Type Theory with dependent sums and intensional identity types is the internal language of $(\infty, 1)$-categories with finite limits.

研究动机与目标

• 建立乔yal的部落与纤维化范畴之间的同伦理论等价性。
• 为在高阶范畴中解释马丁-洛夫类型理论提供基础框架。
• 验证一个将类型理论与具有有限极限的$(\infty, 1)$-范畴相联系的猜想的变体。
• 阐明部落作为具有良好同伦结构的$(\infty, 1)$-范畴模型的作用。
• 弥合类型论构造与高阶范畴语义之间的鸿沟。

提出的方法

• 利用乔yal的部落理论作为$(\infty, 1)$-范畴的同伦理论框架。
• 通过同伦提升性质证明部落满足纤维化范畴的公理。
• 在部落与纤维化范畴的模型结构之间建立Quillen等价性。
• 应用高阶范畴理论将类型论构造与范畴论极限联系起来。
• 使用纤维化范畴的内部逻辑来解释依赖求和与等式类型。
• 利用等价性在部落与纤维化范畴之间传递性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 乔yal的部落与纤维化范畴之间是否存在同伦理论等价性？
• RQ2 部落是否能以与类型论兼容的方式作为具有有限极限的$(\infty, 1)$-范畴的模型？
• RQ3 部落与纤维化范畴之间的等价性是否支持类型论的内部语言猜想？
• RQ4 通过此等价性，依赖求和与可意性等式类型如何在$(\infty, 1)$-范畴的语境中出现？
• RQ5 纤维化范畴在将马丁-洛夫类型理论实现为高阶范畴的内部语言中起什么作用？

主要发现

• 乔yal的部落的同伦理论与纤维化范畴的同伦理论是Quillen等价的。
• 此等价性意味着部落以与同伦结构兼容的方式建模了具有有限极限的$(\infty, 1)$-范畴。
• 纤维化范畴的内部逻辑支持依赖求和与可意性等式类型。
• 此等价性为在高阶范畴中解释马丁-洛夫类型理论提供了新的基础。
• 结果验证了类型理论是具有有限极限的$(\infty, 1)$-范畴的内部语言的猜想的变体。
• 该框架确立了部落作为类型理论高阶范畴语义的合适模型。