[论文解读] Isolated and nilpotent subsemigroups in the variants of $\IS$

Galyna Tsyaputa|ArXiv.org|Aug 20, 2005

semigroups and automata theory参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文完全分类了在逆对称半群 $\mathcal{IS}_n$ 的变体中，通过夹逼乘法定义的孤立、完全孤立及幂零子半群。研究建立表明，幂零度为 $k$ 的极大幂零子半群与特定集合的有序 $A$-划分一一对应，其同构类型由块大小的多重集或其逆序（当 $k=2$ 时）决定，而当 $k>2$ 时则由大小元组本身决定。该分类依赖于幂等元的结构分析以及夹逼运算的序理论性质。

ABSTRACT

All isolated, completely isolated, and nilpotent subsemigroups in the semigroup $\IS$ of all injective partial transformations of an $n$-element set, considered as a semigroup with a sandwich multiplication are described.

研究动机与目标

• 通过夹逼乘法研究 $\mathcal{IS}_n$ 的变体中所有孤立与完全孤立子半群的特征。
• 全面描述这些变体中幂零子半群的结构，特别是给定幂零度 $k$ 的情况。
• 通过分析其块大小配置，确定极大幂零子半群的同构类型。

提出的方法

• 使用夹逼运算 $x *_{\alpha} y = x\alpha y$ 定义 $\mathcal{IS}_n$ 的变体，其中 $\alpha$ 为非单位幂等元。
• 识别变体半群中的幂等元为那些定义域包含于 $\operatorname{dom}(\alpha)$ 的元素，从而实现结构分解。
• 定义集合 $M = \overline{A}^{(1)} \cup A \cup \overline{A}^{(2)}$ 的有序 $A$-划分，以参数化极大幂零子半群。
• 构造子半群 $T(M_1, \dots, M_k)$，即仅将元素从 $M_i$ 映射到 $M_j$ 的部分置换集合，且满足 $i < j$，以确保其幂零度为 $k$。
• 利用与子半群 $S$ 关联的序关系 $\Lambda_S$，将子半群的结构与 $M$ 的划分联系起来，并通过序类型的极大性证明子半群的极大性。
• 应用 $\mathcal{IS}(M)$ 中幂零子半群的已知结果，推导基于块大小元组的同构与反同构条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathcal{IS}_n$ 的变体中，孤立与完全孤立子半群的完整结构是什么？
• RQ2 在 $\mathcal{IS}_n$ 的夹逼变体中，如何表征给定幂零度 $k$ 的幂零子半群？
• RQ3 在何种条件下，两个幂零度为 $k$ 的极大幂零子半群是同构或反同构的？

主要发现

• 在 $(\mathcal{IS}_n, *_{\alpha})$ 中，唯一的完全孤立子半群是 $\mathcal{C}_A$、其在 $\mathcal{IS}_n$ 中的补集，以及整个半群。
• 幂零度为 $k$ 的极大幂零子半群与集合 $M = \overline{A}^{(1)} \cup A \cup \overline{A}^{(2)}$ 的有序 $A$-划分 $M = M_1 \cup \cdots \cup M_k$ 之间存在一一对应关系。
• 每个此类子半群 $T(M_1, \dots, M_k)$ 等于 $\operatorname{Mon}(\operatorname{ord}(M_1, \dots, M_k))$，即由划分块上序关系生成的单生成子半群。
• 当 $k=2$ 时，两个极大幂零子半群同构当且仅当它们的大小元组相等或互为逆序；当 $k>2$ 时，同构成立当且仅当大小元组完全相同。
• 两个此类子半群之间存在反同构关系，当且仅当它们的大小元组互为逆序。
• 子半群 $S$ 的类型（定义为 $k$-元组 $(|M_1|, \dots, |M_k|)$）对于 $k>2$ 完全决定了其同构类，而对于 $k=2$ 则完全决定了其反同构类。