[论文解读] Krylov complexity in quantum field theory, and beyond

Alexander Avdoshkin, Anatoly Dymarsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 60被引用 6

一句话总结

本文研究了量子场论中的Krylov复杂度，涵盖自由质量标量场与费米子、全息模型以及带有紫外截断的格点系统。结果表明Lanczos系数表现出非普遍性的渐近行为，验证了广义Maldacena-Shenker-Stanford不等式 $\lambda_K \leq 2\pi/\beta$，并揭示Krylov复杂度与全息复杂度在定性上存在差异——挑战了关于混沌动力学普遍性的先前假设。

ABSTRACT

We study Krylov complexity in various models of quantum field theory: free massive bosons and fermions on flat space and on spheres, holographic models, and lattice models with the UV-cutoff. In certain cases we find asymptotic behavior of Lanczos coefficients, which goes beyond previously observed universality. We confirm that in all cases the exponential growth of Krylov complexity satisfies the conjectural inequality, which generalizes the Maldacena-Shenker-Stanford bound on chaos. We discuss temperature dependence of Lanczos coefficients and note that the relation between the growth of Lanczos coefficients and chaos may only hold for the sufficiently late, truly asymptotic regime governed by the physics at the UV cutoff. Contrary to previous suggestions, we show scenarios when Krylov complexity in quantum field theory behaves qualitatively differently from the holographic complexity.

研究动机与目标

• 研究包括自由质量场、紧化系统和带有紫外截断的格点模型在内的多种量子场论模型中Krylov复杂度的行为。
• 检验Lanczos系数增长的普遍性，并评估其与量子混沌及Maldacena-Shenker-Stanford不等式之间的关联。
• 研究Lanczos系数的温度依赖性，并确定其与混沌相关联的条件。
• 将Krylov复杂度与全息复杂度及计算复杂度进行比较，特别是在非全息场论中的表现。
• 澄清Lanczos系数的线性增长是否普遍表征混沌，尤其是在存在紫外截断的情况下。

提出的方法

• 利用Lanczos算法从Krylov空间中局部算符的自相关函数 $C(t)$ 计算Lanczos系数 $b_n$。
• 应用递推方法定义算符增长动力学，并在平坦空间和球面上的自由质量标量场与费米子理论中提取 $b_n$。
• 通过数值方法评估带有紫外截断的格点模型中 $b_n$ 的渐近行为，以探测底层紫外理论的可积性或混沌性。
• 利用广义不等式 $\lambda_{\rm OTOC} \leq \lambda_{\rm K} \leq \frac{2\pi}{\beta}$ 检验Krylov复杂度与量子混沌界限的一致性。
• 通过椭圆积分和鞍点近似分析路径积分表述中矩 $\mu_{2n}$ 的作用量，推导其渐近行为。
• 对作用量 $I(\epsilon)$ 进行小量 $\epsilon$ 和 $1-\epsilon$ 展开，提取矩渐近行为中的对数和幂律修正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在渐近区域，量子场论中的Krylov复杂度是否表现出普遍行为，特别是Lanczos系数增长是否具有普遍性？
• RQ2 广义Maldacena-Shenker-Stanford不等式 $\lambda_{\rm K} \leq \frac{2\pi}{\beta}$ 在自由质量标量场与费米子QFT及格点模型中在多大程度上成立？
• RQ3 紫外截断如何影响Lanczos系数的渐近行为？它能否区分可积与混沌的紫外理论？
• RQ4 在非全息模型中，量子场论中的Krylov复杂度在哪些方面与全息复杂度存在定性差异？
• RQ5 在何种条件下，$b_n$ 的线性增长能可靠地表征量子混沌？该关系是否在晚近渐近区域之外依然成立？

主要发现

• 带有紫外截断的量子场论中Lanczos系数的渐近行为并非普遍，而是依赖于底层紫外理论，挑战了先前关于 $b_n \propto n$ 增长普遍性的假设。
• 在自由质量标量场与费米子理论中，广义不等式 $\lambda_{\rm OTOC} \leq \lambda_{\rm K} \leq \frac{2\pi}{\beta}$ 得到数值验证，即使第一个不等式为平凡情况亦成立。
• 在某些情形下，如紧化于球面上的自由场，Krylov复杂度表现出与全息复杂度不同的行为，表明二者之间并无固有的定性相似性。
• Lanczos系数增长与混沌之间的关联仅在由紫外物理主导的真正渐近区域成立，而不适用于中间或早期动力学阶段。
• 对于小量 $\epsilon$，渐近矩行为为 $\log\mu_{2n} \approx n|\log\epsilon| - 2n\log|\log\epsilon| + 2n\log(2\alpha n)$，揭示了主导标度中的对数修正项。
• 在 $1-\epsilon$ 展开中，作用量修正为 $\delta S = \frac{\delta^2}{8}$，导致 $\log\mu_{2n} \approx 2n\left(\log\frac{4\alpha n}{\pi e} + \frac{\delta^2}{16}\right)$，表明在共形极限附近存在二次修正项。