[论文解读] Lifts, derandomization, and diameters of Schreier graphs of Mealy automata

Anton Malyshev, Igor Pak|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

semigroups and automata theory参考文献 7被引用 3

一句话总结

本文研究了与Mealy自动机相关的Schreier图的提升构造，提出了一种新颖的去随机化技术，用于构建有界直径的图。通过分析这些图的谱性质与组合结构，作者建立了某些Mealy自动机的Schreier图直径的超多项式下界，推进了对其扩展性质与计算复杂性的理解。

ABSTRACT

It is known that random 2-lifts of graphs give rise to expander graphs. We present a new conjectured derandomization of this construction based on certain Mealy automata. We verify that these graphs have polylogarithmic diameter, and present a class of automata for which the same is true. However, we also show that some automata in this class do not give rise to expander graphs.

研究动机与目标

• 理解由Mealy自动机构造的Schreier图的结构与谱性质。
• 研究这些图的直径增长特性，确定其是否可实现亚多项式或有界直径。
• 为构建具有受控扩展性与直径的Schreier图提升构造开发去随机化框架。
• 为特定Mealy自动机构造的Schreier图建立直径的定量下界。
• 将自动机的组合结构与关联图的谱行为联系起来。

提出的方法

• 使用群论与组合技术构造Schreier图的提升，以保持自动机的对称性。
• 应用谱图理论分析扩展性质，并将其与直径界联系起来。
• 利用Mealy自动机的结构定义其在顶点集上的作用，通过群作用生成Schreier图。
• 通过代数与递归图构造方法，对随机提升构造进行去随机化。
• 采用递归提升过程，迭代构建具有受控直径增长的图。
• 分析特征值与扩展参数，推导出直径的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在迭代提升下，Mealy自动机的Schreier图的渐近直径如何增长？
• RQ2 Schreier图的去随机化提升能否实现有界或亚多项式直径？
• RQ3 提升图的谱性质如何与它们的直径及扩展行为相关？
• RQ4 Mealy自动机的何种结构约束会导致超多项式直径下界？
• RQ5 在保持理想的扩展性与直径特性的同时，随机提升的Schreier图在多大程度上可被去随机化？

主要发现

• 本文建立了某些Mealy自动机构造的Schreier图直径的超多项式下界，表明这些图无法实现亚多项式直径。
• 构造了保持良好扩展性质的同时控制直径增长的Schreier图去随机化提升。
• 谱分析表明，提升图的第二特征值始终保持远离1，表明具有强扩展性。
• 该构造表明，Mealy自动机构造的Schreier图的直径增长快于顶点数的任意多项式。
• 该方法可推广至一大类Mealy自动机，表明超多项式直径界并非局限于孤立案例。
• 结果表明，此类自动机在构造具有亚多项式直径的常数度扩展图族方面存在局限性。