[论文解读] Lower bounds on the size of semidefinite programming relaxations

James R. Lee, Prasad Raghavendra+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 38被引用 6

一句话总结

该论文首次建立了显式多面体在半定规划扩展复杂度上的超多项式下界，包括割、TSP 和稳定集多面体，表明其至少需要大小为 $2^{n^{ heta}}$ 的谱多面体（spectrahedra），其中 $ heta > 0$。论文证明了多项式规模的SDP松弛无法在Max 3-SAT问题上实现优于 $7/8$ 的近似比，且对于Max-CSPs问题，低度和平方松弛在所有多项式规模SDP族中是最优的。

ABSTRACT

We introduce a method for proving lower bounds on the efficacy of semidefinite programming (SDP) relaxations for combinatorial problems. In particular, we show that the cut, TSP, and stable set polytopes on $n$-vertex graphs are not the linear image of the feasible region of any SDP (i.e., any spectrahedron) of dimension less than $2^{n^c}$, for some constant $c > 0$. This result yields the first super-polynomial lower bounds on the semidefinite extension complexity of any explicit family of polytopes. Our results follow from a general technique for proving lower bounds on the positive semidefinite rank of a matrix. To this end, we establish a close connection between arbitrary SDPs and those arising from the sum-of-squares SDP hierarchy. For approximating maximum constraint satisfaction problems, we prove that SDPs of polynomial-size are equivalent in power to those arising from degree-$O(1)$ sum-of-squares relaxations. This result implies, for instance, that no family of polynomial-size SDP relaxations can achieve better than a 7/8-approximation for MAX-3-SAT.

研究动机与目标

• 为填补对半定规划（SDP）松弛在NP难组合问题中能力的理解差距，特别是与线性规划（LP）松弛进行比较。
• 为基本多面体（如割、TSP和稳定集多面体）的半定规划松弛大小（即谱多面体提升）建立强有力的下界。
• 证明多项式规模的SDP松弛无法在Max-CSPs（如Max 3-SAT）中实现优于常数因子近似的解（例如，Max 3-SAT的 $7/8$ 近似），即使允许任意SDP形式。
• 通过将任意SDP与和平方层次结构联系起来，证明低度和平方松弛在所有多项式规模SDP族中对Max-CSPs是最优的。
• 开发一种通用方法，利用量子信息与伪密度学习之间的联系，证明正定秩的下界。

提出的方法

• 引入一种新颖框架，通过量子熵最大化和矩阵乘法权重更新方法，将任意小规模SDP松弛与低度和平方（SOS）松弛联系起来。
• 利用正定秩与通过juntas（低度函数）逼近的度数之间的联系，建立SDP公式复杂度的下界。
• 应用量子信息理论中的技术，特别是伪密度和量子学习的概念，构造分离泛函以证明高SDP秩。
• 采用度数降低论证，表明任意小规模SDP松弛可被低度SOS松弛近似，从而证明SOS在Max-CSPs中的最优性。
• 利用SDP松弛整数性间隙与唯一游戏假设下近似难度之间的等价性，推导出强下界。
• 通过推广“倾斜的唯一不相交问题”来证明非负秩下界，再通过对偶性和因子分解技术将其转移至正定秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否为TSP和稳定集多面体等基本组合多面体的半定规划松弛规模证明超多项式下界？
• RQ2 对于Max-CSPs（如Max 3-SAT），是否存在多项式规模SDP松弛在近似质量上的根本限制？
• RQ3 低度和平方松弛是否在所有多项式规模SDP族中对Max-CSPs是最优的？
• RQ4 在伪密度学习背景下，矩阵的正定秩与通过juntas逼近的度数之间有何关系？
• RQ5 和平方层次结构能否用于刻画所有多项式规模SDP松弛的计算能力？

主要发现

• 对于 $n$ 个顶点的图，割、TSP和稳定集多面体需要大小至少为 $2^{n^{ heta}}$ 的谱多面体提升，其中 $\theta > 0$，首次建立了半定扩展复杂度的超多项式下界。
• 任何多项式规模SDP松弛族都无法在Max 3-SAT中实现优于 $7/8$ 的近似比，表明通过小规模SDP实现更好近似的根本障碍。
• 对于所有Max-CSPs，低度和平方松弛在所有多项式规模SDP族中是最优的，意味着其他SDP形式无法实现更好的近似比。
• 任意小规模SDP松弛可被常数度数的和平方松弛近似，证明了在近似目的上，一般SDP与低度SOS松弛在能力上等价。
• 与唯一不相交问题相关的矩阵的非负秩至少为 $\left(\frac{cn}{m^3 \log n}\right)^{m/2}$，这暗示了唯一游戏问题LP松弛复杂性的强下界。
• 开发了一种通用方法，通过将正定秩与juntas逼近的度数联系起来，并利用伪密度和矩阵乘法权重等量子信息理论工具，证明正定秩的下界。