[论文解读] The matching polytope has exponential extension complexity

Thomas Rothvoß|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2013

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用 13

一句话总结

本文证明了完全图中完美匹配多面体的扩展复杂度为 $2^{\bar{\Omega}(n)}$，表明不存在多项式规模的线性规划来表示它。该结果解决了长期悬而未决的开放问题，证明即使使用额外变量，所需约束数目的增长也随 $n$ 指数级增长，并且还将旅行商问题（TSP）多面体的下界提升至 $2^{\bar{\Omega}(n)}$。

ABSTRACT

A popular method in combinatorial optimization is to express polytopes P, which may potentially have exponentially many facets, as solutions of linear programs that use few extra variables to reduce the number of constraints down to a polynomial. After two decades of standstill, recent years have brought amazing progress in showing lower bounds for the so called extension complexity, which for a polytope P denotes the smallest number of inequalities necessary to describe a higher dimensional polytope Q that can be linearly projected on P. However, the central question in this field remained wide open: can the perfect matching polytope be written as an LP with polynomially many constraints? We answer this question negatively. In fact, the extension complexity of the perfect matching polytope in a complete n-node graph is 2^Omega(n). By a known reduction this also improves the lower bound on the extension complexity for the TSP polytope from 2^Omega(n^1/2) to 2^Omega(n).

研究动机与目标

• 解决扩展复杂度领域的核心开放问题：完美匹配多面体是否能以紧凑的线性规划形式表示。
• 为完全图中完美匹配多面体的扩展复杂度建立超多项式下界。
• 通过已知的约化方法，将该下界推广至旅行商问题（TSP）多面体。
• 为所有 $\varepsilon > 0$ 的匹配多面体的 $(1+\varepsilon)$-近似形式提供紧致的扩展复杂度界。
• 弥合匹配多面体近似形式中已知上下界之间的差距。

提出的方法

• 将通信复杂性中的矩形覆盖方法适配用于证明扩展复杂度的下界。
• 利用相关多面体的约化，其指数级扩展复杂度此前由 Fiorini 等人建立。
• 应用矩形破坏引理与通信复杂度技术，分析松弛矩阵的非负秩。
• 构建一个提升论证，通过奇割不等式的结构，将子图的扩展复杂度与全图关联起来。
• 使用对偶论证表明，任何在 $1+\varepsilon$ 因子内近似匹配多面体的多面体，其扩展复杂度必然很高。
• 结合 Braun 和 Pokutta（2014）的结果，采用缩放与子图限制技术，为所有 $\varepsilon$ 推导出紧致界。

实验结果

研究问题

• RQ1 完全图中 $n$ 个节点的完美匹配多面体能否以约束数为多项式规模的线性规划来表示？
• RQ2 完美匹配多面体的精确扩展复杂度是多少？它是否随 $n$ 指数级增长？
• RQ3 匹配多面体的 $(1+\varepsilon)$-近似形式的扩展复杂度如何随 $\varepsilon$ 变化？
• RQ4 能否通过从匹配多面体约化的方法，将 TSP 多面体的下界提升至超过 $2^{\Omega(\sqrt{n})}$？
• RQ5 在已知线性规划存在指数级下界的情况下，是否存在多项式规模的半定规划形式来表示完美匹配多面体？

主要发现

• 完全图中 $n$ 个节点的完美匹配多面体的扩展复杂度为 $2^{\Omega(n)}$，证明其无法以紧凑的线性规划形式表示。
• TSP 多面体的扩展复杂度同样为 $2^{\Omega(n)}$，将此前的下界从 $2^{\Omega(\sqrt{n})}$ 提升。
• 对于任意 $\varepsilon > 0$，匹配多面体的 $(1+\varepsilon)$-近似形式的扩展复杂度至少为 $2^{\Omega(\min\{1/\varepsilon, n\})}$。
• 即使在非对称扩展形式下，该结果依然成立，从而排除了匹配多面体存在多项式规模线性规划的可能性。
• 当 $\varepsilon \ll 1/\log n$ 时，该下界在指数常数因子范围内是紧致的，因为在该参数范围内已知存在匹配的上界。
• 匹配多面体扩展复杂度的指数下界意味着，即使引入额外变量，也不存在多项式规模的线性规划来表示它。