[论文解读] $\mathsf{L}^1$-elliptic regularity and $H=W$ on the whole $\mathsf{L}^p$-scale on arbitrary manifolds

Davide Guidetti, Batu Güneysu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 12, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文在任意非紧流形上的全 $\mathsf{L}^p$-尺度上，建立了 $\mathsf{L}^1$-椭圆正则性与 $H=W$ 性质，适用于任意全纯向量丛。在广义椭圆条件之下，证明了光滑截面在 $\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}$-空间中是稠密的，通过在 $p=1$ 时引入一种新颖的局部正则性结果（在 Triebel–Lizorkin 空间中），将 Meyers-Serrin 定理推广至一般几何设定，该结果相较于 $p>1$ 时损失了一阶导数。

ABSTRACT

We define abstract Sobolev type spaces on $\mathsf{L}^p$-scales, $p\in [1,\infty)$, on Hermitian vector bundles over possibly noncompact manifolds, which are induced by smooth measures and families $\mathfrak{P}$ of linear partial differential operators, and we prove the density of the corresponding smooth Sobolev sections in these spaces under a generalized ellipticity condition on the underlying family. In particular, this implies a covariant version of Meyers-Serrin q{}s theorem on the whole $\mathsf{L}^p$-scale, for arbitrary Riemannian manifolds. Furthermore, we prove a new local elliptic regularity result in $\mathsf{L}^1$ on the Besov scale, which shows that the above generalized ellipticity condition is satisfied on the whole $\mathsf{L}^p$-scale, if some differential operator from $\mathfrak{P}$ that has a sufficiently high (but not necessarily the highest) order is elliptic.

研究动机与目标

• 通过在 $\mathsf{L}^p$-尺度上定义抽象的 $\mathfrak{P}$-Sobolev 空间，将 Meyers-Serrin 定理推广至任意黎曼流形与全纯向量丛。
• 在广义椭圆条件之下，建立这些抽象 Sobolev 空间中光滑截面的稠密性，将经典结果扩展至非紧与几何结构复杂的设定。
• 通过证明一种新的局部正则性结果（在 Triebel–Lizorkin 空间中），解决 $\mathsf{L}^1$-情形，其中标准椭圆正则性失效，该结果考虑了相较于 $p>1$ 情形损失一阶导数的特性。
• 证明通过黎曼流形上的协变导数定义的 $\mathsf{W}^{k,p}$-空间满足所需的局部正则性，从而在无需连接算子完全椭圆的条件下实现 $H=W$ 结果。

提出的方法

• 在流形上的全纯向量丛上，通过一族线性微分算子 $\mathfrak{P}$ 与光滑测度 $\mu$，引入抽象的 $\mathfrak{P}$-Sobolev 空间 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E)$。
• 建立一个关键的抽象结果（定理 2.9）：若局部正则性 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{k-1,p}_{\mathrm{loc}}}(X,E)$ 成立，则光滑截面在 $\mathfrak{P}$-Sobolev 空间中稠密。
• 证明在 $p=1$ 时，关于 Triebel–Lizorkin 空间的新型局部椭圆正则性结果：若一个 $k$ 阶算子是椭圆的，则 $\mathsf{W}^{\mathfrak{P},1}$-函数在局部获得 $k-1$ 阶 $L^1$-正则性，相较于 $p>1$ 情形损失一阶导数。
• 利用对偶性论证与椭圆系统在 Triebel–Lizorkin 空间尺度上的新存在唯一性结果（命题 A.3），建立模型方程在 $\mathsf{B}^{\beta+n}_{p,p}$ 与 $\mathsf{B}^{\beta+n}_{\infty,\infty}$ 中的可解性。
• 应用 Triebel–Lizorkin 空间的插值与迹性质，将 $p>1$ 的结果推广至 $p=1$，并处理完整的 $\mathsf{L}^p$-尺度。
• 将抽象框架应用于具有协变导数的黎曼流形，证明 $\Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\nabla,g}}(M,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\mathrm{loc}}}(M,E)$，从而在无需连接算子椭圆性假设的条件下，实现 $H=W$ 结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非紧流形上，光滑截面在 $\mathfrak{P}$-Sobolev 空间中稠密的条件是什么？
• RQ2 当经典局部估计失效时，如何建立 $\mathsf{L}^1$-椭圆正则性？
• RQ3 在椭圆系统下，$\mathsf{L}^1$-Sobolev 函数的精确正则性增益是多少？与 $p>1$ 情形有何不同？
• RQ4 Meyers-Serrin 定理能否在不假设紧致性或完全椭圆性的条件下，推广至一般黎曼流形与向量丛？
• RQ5 在非紧流形上，通过协变导数定义的 Sobolev 空间中，$H=W$ 性质在多大程度上成立？

主要发现

• 当广义椭圆条件成立时，光滑截面空间 $\Gamma_{\mathsf{C}^\infty_{\mathrm{c}}}(X,E) \cap \Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E)$ 在 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},p}_{\mu}}(X,E)$ 中是稠密的，若存在一个最大阶数 $k$ 的算子 $P_j$ 是椭圆的，则该条件包含 $\mathsf{L}^1$-情形。
• 对于 $p=1$，若存在一个 $k$ 阶算子 $P_j$ 是椭圆的，则局部正则性条件 $\Gamma_{\mathsf{W}^{\mathfrak{P},1}_{\mu}}(X,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{k-1,1}_{\mathrm{loc}}}(X,E)$ 成立，该结果是精确的，由反例表明其不可改进。
• 通过在 Triebel–Lizorkin 空间中引入的新局部椭圆正则性结果，表明 $\mathsf{L}^1$-Sobolev 函数相较于 $p>1$ 情形损失一阶导数，具体为：在最大阶算子椭圆的条件下，有 $\mathsf{W}^{\mathfrak{P},1} \subset \mathsf{W}^{k-1,1}_{\mathrm{loc}}$。
• 抽象结果（定理 2.9）是最优的：存在非椭圆算子 $P$，使得对 $q>1$，有 $\mathsf{W}^{P,q} \not\subset \mathsf{W}^{\mathrm{ord}(P)-1,q}_{\mathrm{loc}}$，且 $\mathsf{C}^\infty \cap \mathsf{W}^{P,q}$ 在 $\mathsf{W}^{P,q}$ 中不稠密。
• 在任意黎曼流形 $(M,g)$ 上，通过协变导数定义的 Sobolev 空间 $\Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\nabla,g}}(M,E)$ 满足 $\Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\nabla,g}}(M,E) \subset \Gamma_{\mathsf{W}^{s,p}_{\mathrm{loc}}}(M,E)$，对 $p \in (1,\infty)$ 成立，从而在无需连接算子椭圆性假设的条件下，实现 $H=W$ 性质。
• 通过对偶性与弱紧致性，建立了某些椭圆系统在 Triebel–Lizorkin 空间中的解的存在性与唯一性（命题 A.3），并在此基础上证明了 $\mathsf{L}^1$-正则性结果，该结果在论证中起关键作用。