[论文解读] Measure complexity and Möbius disjointness

Wen Huang, Zhiren Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用 10

一句话总结

本文引入测度复杂度作为验证Sarnak的Möbius不相交性猜想的新标准，证明了若任意拓扑动力系统中每个不变测度均具有次多项式测度复杂度，则该系统满足该猜想。关键结果表明，具有离散谱、光滑双曲积在2-环面上的系统、驯服系统以及某些双曲积映射，由于其次多项式测度复杂度，均满足该猜想。

ABSTRACT

In this paper, the notion of measure complexity is introduced for a topological dynamical system and it is shown that Sarnak's Möbius disjointness conjecture holds for any system for which every invariant Borel probability measure has sub-polynomial measure complexity. Moreover, it is proved that the following classes of topological dynamical systems $(X,T)$ meet this condition and hence satisfy Sarnak's conjecture: (1) Each invariant Borel probability measure of $T$ has discrete spectrum. (2) $T$ is a homotopically trivial $C^\infty$ skew product system on $\mathbb{T}^2$ over an irrational rotation of the circle. Combining this with the previous results it implies that the Möbius disjointness conjecture holds for any $C^\infty$ skew product system on $\mathbb{T}^2$. (3) $T$ is a continuous skew product map of the form $(ag,y+h(g))$ on $G imes \mathbb{T}^1$ over a minimal rotation of the compact metric abelian group $G$ and $T$ preserves a measurable section. (4) $T$ is a tame system.

研究动机与目标

• 建立一个新标准——次多项式测度复杂度——以验证Sarnak的Möbius不相交性猜想。
• 解决关于具有离散谱或光滑双曲积的系统是否满足Möbius不相交性猜想的开放问题。
• 将先前关于尼尔斯系统和离散谱系统的结论推广至更广泛的拓扑动力系统类别。
• 证明所有 $ C^{\infty} $ 双曲积系统在 $ \mathbb{T}^2 $ 上均满足Möbius不相交性猜想。
• 通过新的复杂度理论框架，统一并推广现有关于确定性序列与Möbius函数结果。

提出的方法

• 通过给定不变测度 $ \rho $，定义测度复杂度为覆盖测度为 $ 1-\epsilon $ 的集合所需的最小 $ \overline{d}_n $-球（半径为 $ \epsilon $）的数量。
• 引入测度复杂度弱于函数 $ U(n) $ 的概念，并将次多项式测度复杂度定义为对所有 $ \tau > 0 $ 均弱于 $ n^\tau $。
• 通过沿序列 $ N_i $ 的经验测度的弱*收敛性论证，证明次多项式测度复杂度蕴含Möbius不相交性。
• 利用可测共轭与旋转不变性，将模型系统中的复杂度估计传递至原系统，尤其在双曲积构造中。
• 应用泛函分析结果，包括 $ L^2 $ 中轨道的紧致性，证明 $ K(\mathbb{Z}) $-系统中的函数具有离散谱。
• 利用测度复杂度与相容度量的选择无关的性质，确保该标准的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个不变Borel概率测度均具有次多项式测度复杂度的拓扑动力系统，Möbius不相交性猜想是否成立？
• RQ2 该猜想能否扩展至 $ \mathbb{T}^2 $ 上的 $ C^\infty $ 双曲积系统，包括在无扭转同伦类中的系统？
• RQ3 由于其测度复杂度性质，具有离散谱或驯服的系统是否满足Möbius不相交性猜想？
• RQ4 测度复杂度标准在可测共轭下是否不变？能否用于在同构系统间传递复杂度界？
• RQ5 能否利用这一新的复杂度框架，将满足Möbius不相交性的系统类扩展至尼尔斯系统和离散谱系统之外？

主要发现

• 对于任意拓扑动力系统，若其每个不变Borel概率测度均具有次多项式测度复杂度，则Möbius不相交性猜想成立。
• 所有具有离散谱的系统均满足该猜想，因为其测度复杂度为次多项式。
• 所有 $ \mathbb{T}^2 $ 上的 $ C^\infty $ 双曲积系统均满足Möbius不相交性猜想，包括在无理旋转上的同伦平凡情形。
• 在紧阿贝尔群 $ G $ 的极小旋转上定义于 $ G \times \mathbb{T}^1 $ 上的连续双曲积映射，若保持一个可测截面，则由于其测度复杂度为次多项式，也满足该猜想。
• 驯服系统满足Möbius不相交性猜想，因为其不变测度具有次多项式测度复杂度。
• 测度复杂度标准具有鲁棒性：其与相容度量的选择无关，并在可测共轭下保持不变，从而可在同构系统间传递复杂度界。