[论文解读] Mirror symmetry for perverse schobers from birational geometry

Will Donovan, Tatsuki Kuwagaki|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文通过使用带停止点的Fukaya范畴与整体-构造对应关系，为二维和三维Calabi–Yau流形中源自双有理几何的奇异schober构造了镜像伙伴。通过证明镜像schober的第二紧上同调恢复了奇异代数簇上的凝聚层导出范畴，建立了同调镜像对称等价关系，从而为这类镜像对称提供了新证明。

ABSTRACT

Perverse schobers are categorical analogs of perverse sheaves. Examples arise from varieties admitting flops, determined by diagrams of derived categories of coherent sheaves associated to the flop: in this paper we construct mirror partners to such schobers, determined by diagrams of Fukaya categories with stops, for examples in dimensions 2 and 3. Interpreting these schobers as supported on loci in mirror moduli spaces, we prove homological mirror symmetry equivalences between them. Our construction uses the coherent-constructible correspondence and a recent result of Ganatra-Pardon-Shende to relate the schobers to certain categories of constructible sheaves. As an application, we obtain new mirror symmetry proofs for singular varieties associated to our examples, by evaluating the categorified cohomology operators of Bondal-Kapranov-Schechtman on our mirror schobers.

研究动机与目标

• 为二维和三维Calabi–Yau流形中源自双有理几何的奇异schober构造镜像伙伴。
• 在凝聚层的导出范畴与带停止点的Fukaya范畴之间建立同调镜像对称等价关系。
• 将schober解释为在镜像模空间中的子集上支持，并通过整体-构造对应关系将其与构造层联系起来。
• 通过在镜像schober上计算分类上同调算子，为奇异代数簇的同调镜像对称提供新证明。

提出的方法

• 作者使用整体-构造对应关系，将凝聚层的导出范畴与构造层的范畴联系起来。
• 他们应用Ganatra–Pardon–Shende的近期结果，通过微局部理论将schober与构造层联系起来。
• 该构造涉及在三流形的翻转中定义球对与flobers，使用纤维积与商构造的导出范畴。
• 带停止点的Fukaya范畴被用于建模镜像侧，其中停止点由拉格朗日子空间编码。
• 该方法在Morita模型中使用Verdier–Drinfeld商与同伦上积，以关联构造层的范畴。
• 通过上积图计算镜像schober的第二紧上同调，从而与奇异代数簇的导出范畴建立等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将复结构模空间上局部常值的Fukaya范畴族扩展为奇异schober？
• RQ2 该镜像schober是否与奇异代数簇上的凝聚层导出范畴满足同调镜像对称等价？
• RQ3 如何在镜像schober上计算Bondal–Kapranov–Schechtman的分类上同调算子，以恢复奇异代数簇的导出范畴？
• RQ4 该镜像schober构造是否与奇异toric代数簇的整体-构造对应关系相容？
• RQ5 由翻转产生的flobers与球对在镜像设定中是否能产生等价的第二紧上同调？

主要发现

• 镜像schober通过带停止点的Fukaya范畴构造，为源自双有理几何的奇异schober提供了范畴镜像伙伴。
• 通过奇异代数簇的凝聚层导出范畴与镜像schober的第二紧上同调之间的等价关系，建立了同调镜像对称。
• 镜像schober的第二紧上同调恢复了导出范畴$ D(X_0) $，证实了镜像对称等价关系。
• 该构造在Morita模型中使用同伦上积图，表明镜像schober作为构造层范畴的上积而出现。
• 该方法通过在镜像schober上计算分类上同调算子，为奇异代数簇的同调镜像对称提供了新证明。
• 结果表明，可通过光滑精化极限，将整体-构造对应关系推广至奇异toric代数簇。