[论文解读] Model $\infty$-categories II: Quillen adjunctions

Aaron Mazel-Gee|arXiv (Cornell University)|Oct 15, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文证明了关键的范畴结构——Quillen伴随、双变量伴随、张量与对称张量结构，以及丰富模型结构——可从模型∞-范畴的局部化中自然下降。通过以纤维化和局部化函子为核心的同伦论技术，本文证明了Quillen伴随在局部化上诱导出伴随，且模型∞-范畴上的张量/丰富结构可提升至其局部化，保持必要的∞-范畴一致性。

ABSTRACT

We prove that various structures on model $\infty$-categories descend to corresponding structures on their localizations: (i) Quillen adjunctions; (ii) two-variable Quillen adjunctions; (iii) monoidal and symmetric monoidal model structures; and (iv) enriched model structures.

研究动机与目标

• 建立模型∞-范畴之间的Quillen伴随在它们的局部化上诱导出自然伴随。
• 证明双变量Quillen伴随在局部化上诱导出双变量伴随。
• 证明张量与对称张量模型∞-范畴在局部化上诱导出闭（相应地，对称）张量结构。
• 证明丰富模型∞-范畴在局部化上诱导出相对于局部化丰富范畴的丰富与双张量结构。

提出的方法

• 使用纤维化局部化与相对共/纤维化范畴分析结构的下降。
• 应用cocartesian纤维化的理论（作为lax上积分，依据Gepner-Haugseng-Nikolaus）处理局部化中的一致性问题。
• 依赖于‘良好’对象子范畴（如上纤维对象）以控制局部化下的同伦论行为。
• 采用导出双变量伴随与Quillen在∞-范畴设定下的模型范畴框架。
• 利用局部化函子的对称张量性质，以提升代数结构。
• 采用相对∞-范畴与模型∞-范畴的框架，作为经典模型范畴的推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 模型∞-范畴之间的Quillen伴随是否在它们的局部化上诱导出伴随？
• RQ2 双变量Quillen伴随能否被提升为局部化上的双变量伴随？
• RQ3 张量模型∞-范畴是否在局部化上诱导出闭张量结构？
• RQ4 丰富模型∞-范畴是否在局部化上诱导出相对于局部化丰富范畴的丰富与双张量结构？

主要发现

• 模型∞-范畴之间的Quillen伴随在局部化上诱导出自然伴随，且Quillen等价性诱导出伴随等价。
• 双变量Quillen伴随在各自模型∞-范畴的局部化上诱导出自然双变量伴随。
• （对称）张量模型∞-范畴的局部化自然成为闭（相应地，对称）张量∞-范畴。
• V-丰富的模型∞-范畴的局部化自然在V的局部化上实现丰富与双张量结构。
• 由Quillen伴随导出的双变量伴随在局部化上自然支撑起丰富与双张量结构。
• 结果具有不变性，不依赖于点集模型或局部化中同伦空间的显式计算。