[论文解读] Model structure on projective systems of $C^*$-algebras and bivariant homology theories

Ilan Barnea, M. Joachim+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文利用弱纤维化范畴工具，为分离的 $C^*$-代数的pro-范畴 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 构造了一个模型结构，该结构刻画了带基点的非交换空间的 $\infty$-范畴。该模型范畴的稳定化给出了 $C^*$-代数的三角化与双不变同调理论的一般形式化，包括一种新的双不变 $\mathrm{K}$-理论，其在适当条件下与Bonkat的构造一致。

ABSTRACT

Using the machinery of weak fibration categories due to Schlank and the first author, we construct a convenient model structure on the pro-category of separable $C^*$-algebras $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$. The opposite of this model category models the $\infty$-category of pointed noncommutative spaces $\mathtt{N}\mathcal{S_*}$ defined by the third author. Our model structure on $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ extends the well-known category of fibrant objects structure on $\mathtt{SC^*}$. We show that the pro-category $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ also contains, as a full coreflective subcategory, the category of pro-$C^*$-algebras that are cofiltered limits of separable $C^*$-algebras. By stabilizing our model category we produce a general model categorical formalism for triangulated and bivariant homology theories of $C^*$-algebras (or, more generally, that of pointed noncommutative spaces), whose stable $\infty$-categorical counterparts were constructed earlier by the third author. Finally, we use our model structure to develop a bivariant $\mathrm{K}$-theory for all projective systems of separable $C^*$-algebras generalizing the construction of Bonkat and show that our theory naturally agrees with that of Bonkat under some reasonable assumptions.

研究动机与目标

• 在 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 上构造一个模型结构，该结构扩展了 $\mathtt{SC^*}$ 上纤维对象范畴的结构，并刻画了带基点的非交换空间的 $\infty$-范畴。
• 证明 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 包含一个全核心射子范畴，其由分离 $C^*$-代数的逆向极限构成的pro-$C^*$-代数组成。
• 对模型范畴进行稳定化，以生成 $C^*$-代数及其非交换空间的三角化与双不变同调理论的一般形式化。
• 推广Bonkat的双不变 $\mathrm{K}$-理论，并在合理假设下证明其一致性。

提出的方法

• 利用Schlank与Barnea提出的弱纤维化范畴框架，将分离 $C^*$-代数的范畴提升为pro-范畴上的模型结构。
• 在 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 与 $\infty$-范畴 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*_{\infty}})$ 之间构造一个Quillen伴随，确保与pro-$\infty$-范畴的兼容性。
• 识别出 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 中由分离 $C^*$-代数的逆向极限构成的全核心射子范畴。
• 对模型范畴 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 应用稳定化技术，得到一个谱的稳定 $\infty$-范畴，用于刻画双不变同调理论。
• 通过 $\infty$-范畴的ind-与pro-构造，建立稳定 $\infty$-范畴的谱与模型范畴的稳定化之间的自然等价。
• 将所得的双不变 $\mathrm{K}$-理论与Bonkat的构造进行比较，证明在适当假设（如正规性与稳定性）下二者一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 上构造一个模型结构，使其扩展 $\mathtt{SC^*}$ 上的纤维对象结构，并刻画带基点的非交换空间的 $\infty$-范畴？
• RQ2 如何对 pro-范畴 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 进行稳定化，以获得 $C^*$-代数的双不变同调理论的一般形式化？
• RQ3 在标准假设下，所提出的pro-$C^*$-代数的双不变 $\mathrm{K}$-理论是否与Bonkat的构造一致？
• RQ4 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 与由分离 $C^*$-代数的逆向极限构成的pro-$C^*$-代数范畴之间存在何种关系？
• RQ5 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 的稳定化与 $\mathtt{SC^*_{\infty}}$ 的 $\infty$-范畴稳定化之间有何关联？

主要发现

• 在 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 上构造了一个Quillen模型结构，其扩展了 $\mathtt{SC^*}$ 上的纤维对象范畴，满足所需的同伦性质。
• 该模型范畴的对偶刻画了由Mahanta定义的带基点的非交换空间 $\mathtt{N}\mathcal{S}_*$ 的 $\infty$-范畴。
• $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 包含一个全核心射子范畴，其由分离 $C^*$-代数的逆向极限构成的pro-$C^*$-代数组成。
• 对模型范畴 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 的稳定化，产生了一套 $C^*$-代数的三角化与双不变同调理论的一般形式化。
• 当pro-系统正规且代数分离时，所得的pro-$C^*$-代数的双不变 $\mathrm{K}$-理论与Bonkat的构造一致。
• $\mathtt{SC^*_{\infty}}$ 的 $\infty$-范畴稳定化与模型范畴 $\mathrm{Pro}(\mathtt{SC^*})$ 关联的谱的 $\infty$-范畴之间存在自然等价。