[论文解读] Moduli spaces of hyperelliptic curves with A and D singularities

Maksym Fedorchuk|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用 5

一句话总结

本文引入了具有至多 $A$ 和 $D$ 奇点的拟适定双椭圆覆盖的模空间，由两个稳定性参数参数化。通过变化这些参数，构造了在稳定极限堆栈 $\mathcal{T}_{A_n}$ 及其 $\mathbb{G}_m$-商之间的对数卡斯蒂亚诺模型的插值，证明了中间空间是稳定极限堆栈的对数卡斯蒂亚诺模型。

ABSTRACT

We introduce moduli spaces of quasi-admissible hyperelliptic covers with at worst A and D singularities. The stability conditions for these moduli spaces depend on two parameters describing allowable singularities. By varying these parameters, we interpolate between the stacks of stable limits of A and D singularities and the quotients of the versal deformation spaces of A and D singularities by a natural $\mathbb{G}_m$ action.

研究动机与目标

• 研究 $A$ 和 $D$ 奇点的普遍变形空间的局部几何与它们的稳定极限堆栈的全局几何之间的相互作用。
• 构造一个在堆栈 $\mathcal{T}_{A_n}$ 和 $\mathcal{T}_{D_n}$ 及其 $\mathbb{G}_m$-商之间插值的模空间族。
• 为具有 $A$ 和 $D$ 奇点的曲线提供一个函子性的同时 $(A_k, D_\ell)$-稳定化约。
• 建立在参数范围内的中间模空间是 $\mathcal{T}_{A_n}$ 和 $\mathcal{T}_{D_n}$ 的对数卡斯蒂亚诺模型。

提出的方法

• 引入拟适定双椭圆覆盖的概念，通过两个稳定性参数参数化具有 $A$ 和 $D$ 奇点的曲线。
• 利用除子标记的有理曲线和偶数有理轨道曲线的理论，分析稳定极限中尾部的几何结构。
• 对堆栈 $\mathcal{T}_{A_n}$ 和 $\mathcal{T}_{D_n}$ 应用对数极小模型程序（LMMP），通过变化稳定性参数，生成对数卡斯蒂亚诺模型。
• 在模空间之间构造约化态射，以描述中间空间的双有理几何。
• 使用循环覆盖和爆破来分析 $D$ 奇点的形变，以在全空间中解析奇点。
• 应用变换理论和形式函数定理，证明稳定约化无法通过变形空间的正规有理变换来解决。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过连续的稳定性条件族来参数化 $A_n$ 和 $D_n$ 奇点的稳定极限的模空间？
• RQ2 堆栈 $\mathcal{T}_{A_n}$ 和 $\mathcal{T}_{D_n}$ 的双有理几何是什么？对数卡斯蒂亚诺模型在此背景下如何出现？
• RQ3 能否为具有混合 $A$ 和 $D$ 奇点的曲线构造一个同时的 $(A_k, D_\ell)$-稳定化约？
• RQ4 为何从 $A_{2k}$ 奇点的变形空间到 $\overline{\mathcal{M}}_g$ 的模映射即使在适当的双有理变换后也无法延拓为稳定族？
• RQ5 在稳定极限的背景下，Weyl 覆盖和变换理论在多大程度上能解决模映射的不确定性？

主要发现

• 通过变化两个稳定性参数获得的中间模空间是堆栈 $\mathcal{T}_{A_n}$ 和 $\mathcal{T}_{D_n}$ 的对数卡斯蒂亚诺模型，提供了对数卡斯蒂亚诺模型的连续族。
• 对于 $A_n$ 奇点，稳定极限的尾部是亏格为 $\lfloor n/2 \rfloor$ 的双椭圆曲线，由一个韦伊斯特点（若 $n$ 为偶数）或一对共轭点（若 $n$ 为奇数）标记。
• 对于 $D_n$ 奇点，尾部是亏格为 $\lfloor (n-1)/2 \rfloor$ 的双椭圆曲线，当 $n$ 为偶数时由三个点标记（其中两个共轭），当 $n$ 为奇数时由两个点标记（其中一个为韦伊斯特点）。
• 对于 $A_{2k}$ 奇点，模映射 $\operatorname{Def}(C) \dashrightarrow \overline{\mathcal{M}}_g$ 即使在限制到 Weyl 覆盖上，也无法通过任何正规有理变换的变形空间来解决。
• 该构造为具有混合 $A$ 和 $D$ 奇点的曲线提供了函子性的同时 $(A_k, D_\ell)$-稳定化约，推广了 ADE 情形下的先前结果。
• 对于 $A_{2k}$ 奇点，模映射的不确定性是内在的，无法通过在判别式支集外同构于 Weyl 覆盖的变换来解决。