[论文解读] Multiplicity one for min-max theory in compact manifolds with boundary and its applications

Ao Sun, Zhichao Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 51被引用 5

一句话总结

该论文在维度3至7的紧致流形（带边界）中建立了极小化自由边界极小超曲面的重数一性定理，证明了对于一般度量，每个第$k$个宽度均由一组互不相交的、嵌入的、双向的、连通的自由边界极小超曲面以重数一实现。作者发展了一套具有Morse指标上界的通用极小化理论，并将其应用于在单位球中构造新的自由边界极小超曲面，以及通过极小化方法构造具有任意大熵的自相似收缩子。

ABSTRACT

We prove the multiplicity one theorem for min-max free boundary minimal hypersurfaces in compact manifolds with boundary of dimension between 3 and 7 for generic metrics. To approach this, we develop existence and regularity theory for free boundary hypersurface with prescribed mean curvature, which includes the regularity theory for minimizers, compactness theory, and a generic min-max theory with Morse index bounds. As applications, we construct new free boundary minimal hypersurfaces in the unit balls in Euclidean spaces and self-shrinkers of the mean curvature flows with arbitrarily large entropy.

研究动机与目标

• 在带边界的紧致流形中，建立极小化自由边界极小超曲面的重数一猜想。
• 为具有Morse指标上界的自由边界$h$-超曲面发展一套通用极小化理论。
• 在欧氏空间中的单位球内构造新的自由边界极小超曲面。
• 通过极小化方法构造平均曲率流的自相似收缩子，使其熵任意大。

提出的方法

• 为紧致流形（带边界）中自由边界$h$-超曲面的极小化器建立正则性理论。
• 在统一面积和Morse指标上界条件下，为自由边界$h$-超曲面建立紧致性理论。
• 构造自由边界$h$-超曲面的通用极小化理论，证明对于一般度量，极小化极限具有重数一性。
• 使用截断技巧控制面积的二阶变分，确保极小化构造中的稳定性。
• 通过近似奇异高斯空间的管状邻域，将理论应用于奇异高斯空间。
• 利用局部$h$-叶状结构控制边界附近的几何，并构造$h$-超曲面的叶状族。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于紧致流形（带边界）中的一般度量，极小化自由边界极小超曲面是否具有重数一性？
• RQ2 在存在边界的条件下，是否可通过极小化理论保证存在Morse指标任意大的自由边界极小超曲面？
• RQ3 能否在带边界的紧致流形中利用极小化构造，产生具有任意大熵的平均曲率流自相似收缩子？
• RQ4 指定平均曲率$h$-超曲面在极小化极限的正则性与紧致性中起什么作用？
• RQ5 如何通过带边界的紧致流形近似奇异高斯空间，以构造具有大高斯面积的极小超曲面？

主要发现

• 对于维度满足$3 \leq n+1 \leq 7$的紧致流形（带边界）上的一般度量，第$k$个宽度$\omega_k(M;g)$由一组互不相交的、嵌入的、双向的、连通的自由边界极小超曲面以重数一实现。
• 作者为自由边界$h$-超曲面建立了通用极小化理论，证明了对于一般度量，极小化极限具有重数一性，且Morse指标有界于$k$。
• 该理论在任意维度$n+1 \in [3,7]$的欧氏空间单位球中，实现了新自由边界极小超曲面的构造。
• 通过用带边界的紧致流形近似奇异高斯空间，构造了具有任意大熵的平均曲率流自相似收缩子。
• 在自由边界极小超曲面附近存在局部$h$-叶状结构，可控制二阶变分，支持极小化构造。
• 使用$\xi_r$的截断技巧可确保面积二阶变分的收敛性，这对证明极小化设定下的正则性与稳定性至关重要。