[论文解读] New constructions of MDS codes with complementary duals

Bocong Chen, Hongwei Liu|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于广义 Reed-Solomon (GRS) 码的新代数构造方法，用于在奇特征有限域上构造线性互补对偶（LCD）最大距离可分（MDS）码。通过引入一种基于根分布的新型加权方案，并利用对偶码的性质，作者在五种不同条件下建立了 $[n,k]$ LCD MDS 码的存在性，扩展并改进了 Jin（2016）的先前结果，消除了对维数 $k$ 的限制。主要贡献在于当 $n$ 和 $k$ 接近域大小 $q$ 时，为 LCD MDS 码提供了全面的存在性框架，特别是在具有挑战性的区域 $n < q$ 和 $2n - k < q \leq 2n$ 内。

ABSTRACT

Linear complementary-dual (LCD for short) codes are linear codes that intersect with their duals trivially. LCD codes have been used in certain communication systems. It is recently found that LCD codes can be applied in cryptography. This application of LCD codes renewed the interest in the construction of LCD codes having a large minimum distance. MDS codes are optimal in the sense that the minimum distance cannot be improved for given length and code size. Constructing LCD MDS codes is thus of significance in theory and practice. Recently, Jin (\cite{Jin}, IEEE Trans. Inf. Theory, 2016) constructed several classes of LCD MDS codes through generalized Reed-Solomon codes. In this paper, a different approach is proposed to obtain new LCD MDS codes from generalized Reed-Solomon codes. Consequently, new code constructions are provided and certain previously known results in \cite{Jin} are extended.

研究动机与目标

• 解决在奇特征有限域上构造 LCD MDS 码的开放问题，特别是在 $n$ 接近 $q$ 的情形。
• 通过基于 GRS 码的新方法，克服先前工作中对 $k$ 为偶数的限制。
• 为在 $n$、$k$ 和 $q$ 的多种结构条件下建立 $[n,k]$ LCD MDS 码的存在性，提供统一框架。
• 通过消除约束并覆盖先前未解决的参数区域，扩展已知的 LCD MDS 码结果。
• 为 $n = q+1$、$n \mid q-1$、$n = p^\ell$（其中 $q = p^e$）以及两个新情形（$n < q$ 且 $n+k \geq q+1$ 或 $2n-k < q \leq 2n$）建立存在性定理。

提出的方法

• 通过基于求值点之间差值定义特定权向量 $\mathbf{v} = (v_1, \dots, v_n)$，从广义 Reed-Solomon (GRS) 码构造 $k$-维 LCD MDS 码。
• 利用 GRS 码的对偶码刻画，推导出 $\mathcal{C}$ 与 $\mathcal{C}^\perp$ 之间平凡交集的条件，从而确保 LCD 性质。
• 对 $1 \leq i \leq n$ 定义权 $v_i = \prod_{j=1}^{n-k} (\alpha_i - \alpha_{n+j})$，将码的结构与 $\mathbb{F}_q$ 中根的分布联系起来。
• 应用多项式插值和根计数论证，证明 $\mathcal{C} \cap \mathcal{C}^\perp$ 中的任意向量必为零，从而证明 LCD 条件。
• 利用多项式乘积的次数界，证明所得函数方程的唯一解为零多项式。
• 通过验证在五种指定参数区域下，所构造的 GRS 码满足 LCD 条件，从而确立存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $q > 3$ 为奇素数幂时，$n$、$k$ 和 $q$ 满足何种条件，$q$-元 $[n,k]$ LCD MDS 码存在？
• RQ2 是否可以将 LCD MDS 码的存在性扩展到 $n = q+1$、$n$ 整除 $q-1$ 或 $n = p^\ell$（其中 $q = p^e$）的情形，且不将 $k$ 限制为偶数？
• RQ3 当 $n < q$ 且 $n+k \geq q+1$ 时，是否可以构造 LCD MDS 码，特别是在 $n$ 和 $k$ 相对于 $q$ 较大的情形？
• RQ4 该构造能否扩展到 $2n - k < q \leq 2n$ 的情形，该情形超出了先前要求 $q \gg n$ 的结果范围？
• RQ5 所提出的方法是否能对奇特征域上 $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 的 $[n,k]$ LCD MDS 码提供完整刻画？

主要发现

• 本文建立了当 $n = q+1$ 且 $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 时，$q$-元 $[n,k]$ LCD MDS 码的存在性，通过消除对 $k$ 为偶数的限制，扩展了 Jin 的结果。
• 当 $n$ 整除 $q-1$ 时，本文证明了在 $\mathbb{F}_q$ 上对所有 $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$，$[n,k]$ LCD MDS 码的存在性，确认了 $n = q-1$ 的情形。
• 当 $q = p^e$ 且 $n = p^\ell$（其中 $1 \leq \ell \leq e$）时，本文构造了所有 $1 < k \leq \lfloor n/2 \rfloor$ 的 $[n,k]$ LCD MDS 码，覆盖了 $n = q$ 的情形。
• 在 $n < q$ 且 $n + k \geq q + 1$ 的条件下，本文证明了 $[n,k]$ LCD MDS 码的存在性，填补了早期构造中的空白。
• 在 $n < q$ 且 $2n - k < q \leq 2n$ 的条件下，本文建立了 $[n,k]$ LCD MDS 码的存在性，为 $n$ 和 $k$ 接近 $q$ 的情形提供了新族。
• 结果通过覆盖先前未解决的情形并消除对 $k$ 的限制，特别是针对 $n \approx q$ 的情形，推广并扩展了 Jin（2016）的工作。