[论文解读] New ways to multiply 3 x 3-matrices

Marijn J. H. Heule, Manuel Kauers+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2019

graph theory and CDMA systems参考文献 26被引用 4

一句话总结

本文提出了超过13,000个新的、相互不等价的3×3矩阵乘法方案，仅使用23个标量乘法，显著扩展了已知的此类算法集合。通过在ℤ₂上使用SAT求解器和代数参数化，作者构建了最多含17个自由参数的解族，所有解均具有整数系数，从而证明Brent方程的解空间维度至少为17。

ABSTRACT

It is known since the 1970s that no more than 23 multiplications are required for computing the product of two 3 x 3-matrices. It is not known whether this can also be done with fewer multiplications. However, there are several mutually inequivalent ways of doing the job with 23 multiplications. In this article, we extend this list considerably by providing more than 13 000 new and mutually inequivalent schemes for multiplying 3 x 3-matrices using 23 multiplications. Moreover, we show that the set of all these schemes is a manifold of dimension at least 17.

研究动机与目标

• 系统性地扩展已知的仅使用23次标量乘法的3×3矩阵乘法方案集合。
• 识别并生成具有整数系数的新方案族，确保其在任意系数环上的适用性。
• 确定3×3矩阵乘法Brent方程解空间的维度。
• 通过分析23次乘法方案中的结构简化，探索是否存在仅使用22次乘法的方案。
• 开发并应用一种系统化方法，利用SAT求解器和ℤ₂上的线性代数对矩阵乘法方案进行参数化。

提出的方法

• 在有限域ℤ₂上使用SAT求解器搜索有效的矩阵乘法方案，从已知解（如Laderman的方案和Courtois等人提出的方案）出发。
• 通过将A、B和C张量中的条目标记为新变量，并求解所得线性系统，系统性地向方案中引入自由参数。
• 应用代数技术，包括格鲁伯基（Gröbner bases）和变量替换，以消除分母并验证所得族中参数的独立性。
• 对先前生成的方案迭代应用参数化过程，以增加自由参数的数量，部分族的参数数达到17个。
• 将ℤ₂上的解提升至任意系数环，同时保持双线性结构和整数系数。
• 使用张量积算术，测试是否可通过A、B或C张量中项的线性依赖关系合并项，将任意23次乘法方案简化为22次乘法。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用23次标量乘法的互不等价的3×3矩阵乘法方案共有多少个？
• RQ2 具有23次乘法和整数系数的3×3矩阵乘法方案族中，自由参数的最大数量是多少？
• RQ3 是否可以通过A、B或C张量中张量因子的线性依赖关系，将任意23次乘法方案简化为仅使用22次乘法？
• RQ4 3×3矩阵乘法Brent方程定义的解簇的维度是多少？
• RQ5 除已发现的方案外，是否还存在其他系数在{-1, 0, 1}范围内的3×3矩阵乘法方案？

主要发现

• 作者发现了超过13,000个新的、相互不等价的3×3矩阵乘法方案，仅使用23次标量乘法。
• 所有新方案的系数均属于{-1, 0, 1}，确保其在任意系数环上的适用性，而此前的方案含有分数系数。
• 3×3矩阵乘法Brent方程的解空间维度至少为17，这由存在最多含17个独立参数的参数化族所证明。
• 作者成功构建了最多含17个参数的族，方法基于SAT搜索和代数参数化，最终表达式中无分母。
• 未发现任何23次乘法方案可通过A、B或C张量中项的线性依赖关系合并而简化为22次乘法。
• 该方法成功发现了基于Laderman、Courtois等人、Oh等人及Smirnov方案的新族，其参数数分别为0、6、10和14，显著扩展了先前成果。