[论文解读] Numerical Evidence for Exponential Speed-up of QAOA over Unstructured Search for Approximate Constrained Optimization

John Golden, Andreas Bärtschi+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 48被引用 7

一句话总结

本文提供了数值证据，表明一种特定的QAOA变体——团目标QAOA（Clique-Obj QAOA）——在求解约束优化问题时，相对于无结构搜索的Grover算法，实现了指数级加速。通过利用结构化混子和相位分离器，Clique-Obj QAOA的规模随问题大小呈对数增长，优于与无结构搜索的量子下限绑定的Grover-Th QAOA，并在大规模下展现出更优的近似比。

ABSTRACT

Despite much recent work, the true promise and limitations of the Quantum Alternating Operator Ansatz (QAOA) are unclear. A critical question regarding QAOA is to what extent its performance scales with the input size of the problem instance, in particular the necessary growth in the number of QAOA rounds to reach a high approximation ratio. We present numerical evidence for an exponential speed-up of QAOA over Grover-style unstructured search in finding approximate solutions to constrained optimization problems. Our result provides a strong hint that QAOA is able to exploit the structure of an optimization problem and thus overcome the lower bound for unstructured search. To this end, we conduct a comprehensive numerical study on several Hamming-weight constrained optimization problems for which we include combinations of all standardly studied mixer and phase separator Hamiltonians (Ring mixer, Clique mixer, Objective Value phase separator) as well as quantum minimum-finding inspired Hamiltonians (Grover mixer, Threshold-based phase separator). We identify Clique-Objective-QAOA with an exponential speed-up over Grover-Threshold-QAOA and tie the latter's scaling to that of unstructured search, with all other QAOA combinations coming in at a distant third. Our result suggests that maximizing QAOA performance requires a judicious choice of mixer and phase separator, and should trigger further research into other QAOA variations.

研究动机与目标

• 探究QAOA是否能利用问题结构，超越无结构搜索的量子下限。
• 比较不同QAOA变体（尤其是混子和相位分离器）在约束优化问题上的性能扩展特性。
• 确定某些QAOA配置是否能在近似优化中实现相对于Grover风格搜索的指数级加速。
• 分析为维持高近似比，QAOA回合数随问题规模的渐近扩展特性。
• 识别通过结构化哈密顿量设计实现最大性能的最优QAOA配置。

提出的方法

• 对边概率为0.5的随机Erdős-Rényi图，进行了QAOA的全态矢量模拟，规模达n=18。
• 使用标准混子（环形、团）和相位分离器（目标值、基于阈值）评估了多种QAOA变体。
• 为Clique-Obj QAOA实现了一种简化的角度查找启发式方法，将模拟时间减少了100倍。
• 采用加权最小二乘拟合方法，建模QAOA回合数随问题规模n的扩展关系。
• 对Grover-Th和Clique-Th QAOA中的阈值优化，应用了盆地跳跃法和改进的二分查找法。
• 比较了不同QAOA变体的近似比和所需回合数，其中Grover-Th QAOA作为无结构搜索的代理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过利用问题结构的QAOA变体，在近似约束优化中实现相对于无结构搜索的指数级加速？
• RQ2 随着问题规模增大，Clique-Obj QAOA与Grover-Th QAOA的性能扩展特性如何比较？
• RQ3 混子和相位分离器的选择是否显著影响QAOA在大规模下维持高近似比的能力？
• RQ4 对于固定近似比（例如99%），QAOA所需回合数随输入规模n的渐近扩展特性是什么？
• RQ5 数值证据是否能表明，当使用结构化哈密顿量时，QAOA可突破无结构搜索的下限？

主要发现

• Clique-Obj QAOA在性能上相对于Grover-Th QAOA实现了指数级加速，而后者与无结构搜索的量子下限相关联。
• 对于Clique-Obj QAOA，达到99%近似比所需的QAOA回合数随问题规模n呈对数增长，表明其扩展效率高。
• 当n ≥ 12时，Clique-Obj QAOA显著优于Grover-Th QAOA，性能差异仅在较大n时显现。
• Grover-Th QAOA的性能与无结构搜索相似，证实其作为量子搜索下限基准的有效性。
• Clique-Obj QAOA在达到相同近似比时，所需回合数少于Grover-Th QAOA，尤其在n较大时更为明显。
• Clique-Th和Ring-Th QAOA变体在阈值依赖性上未表现出相同的峰值结构，需进行穷举搜索，限制了可扩展性。