[论文解读] On competition through growth reduction

Carles Barril, Àngel Calsina+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2023

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology ModelsMedicine被引用 3

一句话总结

本文研究了一类体型结构化的种群模型，其中个体的生长速率因更高大的同种个体而降低，通过遮光竞争进行建模。利用标量更新方程和时滞微分方程，证明了在一般条件下存在唯一非平凡的稳态出生率，并且该解具有稳定性；同时将结果与拟线性PDE形式化联系起来，并通过线性化分析建立了稳定性。

ABSTRACT

We consider a population organised hierarchically with respect to size in such a way that the growth rate of each individual depends only on the presence of larger individuals. As a concrete example one might think of a forest, in which the incidence of light on a tree (and hence how fast it grows) is affected by shading of taller trees. The model is formulated as a delay equation, more specifically a scalar renewal equation, for the population birth rate. After discussing the well-posedness of the model, we analyse how many stationary birth rates the equation can have in terms of the functional parameters of the model. In particular we show that, under reasonable and rather general assumptions, only one stationary birth rate can exist besides the trivial one (associated to the state in which there are no individuals and the population birth rate is zero). We give conditions for this non-trivial stationary birth rate to exist and we analyse its stability using the principle of linearised stability for delay equations. Finally we relate the results to an alternative formulation of the model taking the form of a quasilinear partial differential equation for the population size-density.

研究动机与目标

• 建立一个种群动力学模型，其中生长受更大个体的影响，受森林中光照竞争的启发。
• 分析此类系统中非零稳态出生率的存在性与稳定性。
• 建立时滞方程形式化与同一模型的拟线性PDE形式化之间的对应关系。
• 应用线性化稳定性理论，确定非平凡稳态局部渐近稳定的条件。

提出的方法

• 将模型表述为一个关于种群出生率的标量非线性更新方程，其中生长速率依赖于更高个体的数量。
• 引入交互变量 $ E(x,t) = \int_x^\infty u(s,t)\,ds $，表示来自高于 $ x $ 的个体的累积遮光效应。
• 使用时滞微分方程分析系统，推导出在稳态附近线性化稳定性的特征方程。
• 应用时滞方程的线性化稳定性原理，确定非平凡稳态出生率的稳定性。
• 推导出人口体型密度的等价拟线性一阶PDE形式化，通过 $ E(x,t) $ 纳入非局部反馈。
• 建立PDE中非平凡稳态密度与时滞形式化中非平凡稳态出生率之间条件的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在生长受更大个体抑制的种群中，非平凡稳态出生率在何种条件下存在？
• RQ2 平凡（零）出生率的稳定性如何依赖于净繁殖数 $ R(0) $？
• RQ3 时滞方程形式化与同一人口模型的拟线性PDE形式化之间存在何种关系？
• RQ4 能否通过时滞方程的线性化分析确定非平凡稳态的稳定性？
• RQ5 功能性参数——生育力 $ \beta(x) $、生长速率 $ g(E) $ 和死亡率 $ \mu $ ——如何影响平衡态的存在性与稳定性？

主要发现

• 在一般且合理的假设下，该模型最多存在一个非平凡稳态出生率，外加平凡的零解。
• 当且仅当零种群状态下的净繁殖数 $ R(0) = \int_{x_m}^\infty \frac{\beta(x)}{g(0)} e^{-\frac{\mu}{g(0)}(x-x_m)}\,dx $ 超过1时，非平凡稳态出生率存在。
• 当平凡稳态是唯一的稳态出生率时，即当 $ R(0) < 1 $ 时，该平凡稳态是全局渐近稳定的。
• 对于一个双参数族的生育力函数，当非平凡稳态出生率存在时，其为局部渐近稳定。
• 时滞形式化中线性化稳定性的特征方程与PDE形式化中推导出的方程一致，证实了两种模型之间的一致性。
• 非平凡稳态的稳定性可由线性化算子的谱性质推断，主导特征值决定了稳定性。