[论文解读] On lifting univalence to the equivariant setting

Anthony Bordg|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 4

一句话总结

本论文研究了通过预层范畴将Voevodsky的同伦等值公理由基础设定推广至等变设定。通过在$[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$上利用投射与注入模型结构构建模型，表明同伦等值在注入模型中成立，但在投射模型中不成立，从而揭示了同伦等值对等变类型理论中模型结构选择的敏感性。

ABSTRACT

This PhD thesis deals with some new models of intensional type theory and the Univalence Axiom introduced by Vladimir Voevodsky. Our work takes place in the framework of the definitions of type-theoretic fibration categories (the notion of model under consideration in this thesis) and universe in a type-theoretic fibration category, definitions due to Michael Shulman. The goal of this thesis consists mainly in the exploration of the stability of the univalence axiom, in particular in the following sense: being given a type-theoretic fibration category C equipped with a univalent universe U, we are eager to endow the functor category [D,C], where D is a small category, with the structure of a type-theoretic fibration category plus a univalent universe.

研究动机与目标

• 通过将同伦等值的 universes 从基范畴扩展至预层范畴，研究同伦等值公理在等变类型理论中的稳定性。
• 分析同伦等值性质是否能从一个带有同伦等值 universes 的类型论纤维范畴$\mathscr{C}$提升至预层范畴$[\mathcal{D}^{op}, \mathscr{C}]$。
• 比较同一预层范畴上不同模型结构（投射与注入）下同伦等值的行为差异。
• 在$[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$中构建具有$\Sigma$、$\Pi$、等式类型及同伦等值 universes 的直觉类型理论的显式模型。
• 理解广义Reedy范畴在建模同伦等值中的作用，特别是在存在非平凡自同构的情况下。

提出的方法

• 使用类型论纤维范畴及Shulman对universe在同构意义下封闭（而非严格相等）的定义。
• 在$[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$上使用投射模型结构构建模型，其中包含带有对合作用的离散群胚的universe。
• 刻画投射结构中的平凡单射与弱等价，以验证类型论结构。
• 在相同范畴上应用注入模型结构，构建第二个具有同伦等值universe的模型。
• 表明注入结构中的纤维对象与纤维化具有复杂性，需谨慎处理。
• 利用$\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$是具有非平凡自同构的广义Reedy范畴这一事实，使其与标准Reedy范畴区分开来。

实验结果

研究问题

• RQ1 同伦等值公理能否从一个带有同伦等值类型论纤维范畴$\mathscr{C}$提升至预层范畴$[\mathcal{D}^{op}, \mathscr{C}]$？
• RQ2 在$[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$上，投射与注入模型结构如何影响带有对合作用的离散群胚universe的同伦等值性？
• RQ3 尽管纤维对象的复杂性较高，是否仍能在$[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$的注入模型结构中构造出同伦等值universe？
• RQ4 为何即使基范畴$\mathbf{Gpd}$支持同伦等值，同伦等值在投射模型结构中仍会失败？
• RQ5 索引范畴$\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$中的非平凡自同构对预层范畴中同伦等值universe的构造有何影响？

主要发现

• 在$[\mathbf{B}(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^{op}, \mathbf{Gpd}]$的投射模型结构中，带有对合作用的离散群胚universe并非同伦等值。
• 投射模型中同伦等值的失败源于投射弱等价的非平凡刻画，这阻碍了同伦等值条件的满足。
• 在相同范畴的注入模型结构中，带有对合作用的离散群胚universe是同伦等值的，表明模型结构的选择具有关键影响。
• 尽管纤维对象具有复杂性，注入模型结构仍能支持同伦等值universe，表明其适用于同伦等值类型理论。
• 当索引范畴为Reedy范畴时，注入模型结构与Shulman的Reedy模型一致，但其扩展至具有非平凡自同构的广义Reedy范畴。
• 在投射模型中，函数的外延性不成立，进一步表明尽管模型具备$\Sigma$、$\Pi$与等式类型，其仍不满足核心类型论原理。