[论文解读] On modular categories O for quantized symplectic resolutions

Ivan Losev|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文在大正特征下建立了量化辛解析化模的范畴 𝒪 的最高权与标准分层结构。它表明，通过将量化代数模 p ≫ 0 进行约化而构造的这些模范畴，在基变换下恢复为通常的特征零范畴 𝒪，并利用此框架构造了墙穿跃双射与分次提升，包括特征零范畴的 Koszul 性结果。

ABSTRACT

In this paper we study highest weight and standardly stratified structures on modular analogs of categories $\mathcal{O}$ over quantizations of symplectic resolutions and show how to recover the usual categories $\mathcal{O}$ (reduced mod $p\gg 0$) from our modular categories. More precisely, we consider a conical symplectic resolution that is defined over a finite localization of $\mathbb{Z}$ and is equipped with a Hamiltonian action of a torus $T$ that has finitely many fixed points. We consider algebras $\mathcal{A}_λ$ of global sections of a quantization in characterstic $p\gg 0$, where $λ$ is a parameter. Then we consider a category $ ilde{\mathcal{O}}_λ$ consisting of all finite dimensional $T$-equivariant $\mathcal{A}_λ$-modules. We show that for $λ$ lying in a {\it p-alcove} $\,^p\!A$, the category $ ilde{\mathcal{O}}_λ$ is highest weight (in some generalized sense). Moreover, we show that every face of $\,^p\!A$ that survives in $\,^p\!A/p$ when $p ightarrow \infty$ defines a standardly stratified structure on $ ilde{\mathcal{O}}_λ$. We identify the associated graded categories for these standardly stratified structures with reductions mod $p$ of the usual categories $\mathcal{O}$ in characteristic $0$. Applications of our construction include computations of wall-crossing bijections in characteristic $p$ and the existence of gradings on categories $\mathcal{O}$ in characteristic $0$.

研究动机与目标

• 为量化辛解析化模在正特征下的范畴 𝒪 建立模框架。
• 在这些模范畴上建立最高权与标准分层结构。
• 证明模 p ≫ 0 的约化可恢复经典的特征零范畴 𝒪。
• 将模构造应用于在特征零中构造墙穿跃双射与分次提升。
• 通过从模范畴的特殊化证明特征零范畴 𝒪 的 Koszul 性。

提出的方法

• 在特征 p ≫ 0 下，将模范畴 𝒪 构造为全局截面代数的 T-等变有限维模。
• 识别 p-仿射区域，并利用相容元素在模设定中定义最高权结构。
• 依赖模设定中的平移双模与墙穿跃函子，以关联不同参数区域。
• 利用模 p 约化与基变换，将模范畴与经典的特征零范畴 𝒪 关联。
• 应用 p-中心技巧与 Tor 平凡性，将结构从模范畴提升至特征零。
• 采用分次提升与 Koszul 对偶技巧，将 Koszul 性从模范畴传递至特征零范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 在模设定中，如何为量化辛解析化模的范畴 𝒪 定义最高权结构？
• RQ2 模范畴 𝒪（在特征 p ≫ 0 下）与经典的特征零范畴 𝒪 之间有何关系？
• RQ3 模设定中的标准分层结构如何对应于特征零中的结构？
• RQ4 能否在特征 p 中使用墙穿跃函子来构造不同参数区域中单模之间的双射？
• RQ5 若模范畴 𝒪 中存在 Koszul 分次提升，是否意味着对应特征零范畴 𝒪 也具有 Koszul 性？

主要发现

• 在合理假设下，对于属于 p-仿射区域的 λ，模范畴 𝒪_λ 在广义意义下为最高权结构。
• 每个在模 p 下仍存活的 p-仿射区域的面，均在 𝒪_λ 上定义了一个标准分层结构。
• 这些标准分层结构的相应分次范畴同构于经典特征零范畴 𝒪 模 p 的约化。
• 特征 p 中的墙穿跃函子诱导了不同参数区域中单模之间的双射，推广了特征零情形。
• 特征 p 中模范畴 𝒪 的分次提升诱导了特征零中的分次提升，且 Koszul 性在基变换下保持不变。
• 若模范畴 𝒪 对无穷多个 p 具有 Koszul 分次提升，则对应特征零范畴 𝒪 亦为 Koszul。