[论文解读] On perverse homotopy $t$-structures, coniveau spectral sequences, cycle modules, and relative Gersten weight structures

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 3

一句话总结

本文在一般基概形 $S$ 上的动机三角范畴 $DM(S)$ 上引入了一种子新的 $t$-结构 $t_{\text{hom}}(S)$，该结构推广了在域上 Voevodsky 的同伦 $t$-结构以及在离散赋值环上 Ayoub 的奇异同伦 $t$-结构。该构造依赖于 Borel-Moore 动机与逐层谱序列，且猜想 $t_{\text{hom}}(S)$ 的心由 $S$ 上的循环模组成，而 $S$-余动机范畴上的 Gersten 权结构提供了另一种描述方式。

ABSTRACT

We study the category $DM(S)$ of Beilinson motives (as described by Cisinski and Deglise) over a more or less general base scheme $S$, and establish several nice properties for a version $t_{hom}(S)$ of the perverse homotopy $t$-structure (essentially defined by Ayoub) for it. $t_{hom}(S)$ is characterized in terms of certain stalks of an $S$-motif $H$ and its Tate twists at fields over $S$; it is closely related to certain coniveau spectral sequences for the cohomology of (the Borel-Moore motives of) arbitrary finite type $S$-schemes. We conjecture that the heart of $t_{hom}(S)$ is given by cycle modules over $S$ (as defined by Rost); for varieties over characteristic $0$ fields this conjecture was recently proved by Deglise. Our definition of $t_{hom}(S)$ is closely related to a new effectivity filtration for $DM(S)$ (and for the subcategory of Chow $S$-motives in it). We also sketch the construction of a certain Gersten weight structure for the category of $S$-comotives; this weight structure yields one more description of $t_{hom}(S)$ and its heart.

研究动机与目标

• 在 $DM(S)$ 上定义一种新的 $t$-结构 $t_{\text{hom}}(S)$，使其推广在域与离散赋值环上已知的 $t$-结构。
• 将 $t_{\text{hom}}(S)$ 与有限型 $S$-概形的 Borel-Moore 动机的逐层谱序列联系起来。
• 猜想 $t_{\text{hom}}(S)$ 的心等价于 Rost 定义的 $S$ 上循环模的范畴。
• 建立 $t_{\text{hom}}(S)$ 与 $S$-余动机范畴 $\mathfrak{D}(S)$ 上的 Gersten 权结构之间的联系。
• 为通过 $\delta$-逐层过滤与权谱序列研究动机上同调提供一个框架。

提出的方法

• 通过在所有 $S$ 上的域处 $H(i)[i]$ 的零性来定义 $t_{\text{hom}}(S)$，推广了 Voevodsky 基于域的定义。
• 利用有限型 $S$-概形的 Borel-Moore 动机来定义相关上同调数据，并构造逐层谱序列。
• 引入 $DM(S)$ 上的 $\delta$-有效性过滤，其通过支撑的余维数对动机过滤进行了细化。
• 在 $S$-余动机范畴 $\mathfrak{D}(S)$ 上构造了一个 Gersten 权结构 $w_{\text{Ger}}(S)$，其由有效 Chow 动机的平移生成。
• 证明 $t_{\text{hom}}(S)$ 心中对象的上同调通过逐层谱序列计算 Cousin 复形。
• 在适当条件下，建立了 $w_{\text{Ger}}(S)$-权谱序列与 $\delta$-逐层谱序列之间的比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将域上动机的同伦 $t$-结构推广到一般基概形 $S$ 上的相对情形？
• RQ2 Borel-Moore 动机的逐层谱序列与 $DM(S)$ 上的 $t_{\text{hom}}(S)$-结构之间有何关系？
• RQ3 $t_{\text{hom}}(S)$ 的心是否等价于 $S$ 上的循环模范畴，如猜想所述？
• RQ4 $\mathfrak{D}(S)$ 上的 Gersten 权结构如何与 $t_{\text{hom}}(S)$-结构及其心相关联？
• RQ5 $\delta$-逐层谱序列能否被解释为来自余动机上的权结构？这对动机上同调意味着什么？

主要发现

• $t_{\text{hom}}(S)$ 由在所有 $S$ 上的域处 $H(i)[i]$ 的零性所刻画，推广了 Voevodsky 基于域的判别准则。
• 当 $S$ 为完美域的谱时，$t_{\text{hom}}(S)$ 与 Voevodsky 同伦 $t$-结构的稳定扩张一致。
• 当 $S$ 为离散赋值环上有限型时，$t_{\text{hom}}(S)$ 与 Ayoub 的奇异同伦 $t$-结构等价。
• 在 $t_{\text{hom}}(S)$ 心中对象取值的 $\mathcal{M}^{BM}_S(X)$ 上同调，通过逐层谱序列计算 Cousin 复形。
• $S$ 上所有域处 $H(i)[i]$ 的截面集合满足循环模的关键公理，支持了 $t_{\text{hom}}(S)$ 心为循环模范畴的猜想。
• 构造了 $\mathfrak{D}(S)$ 上的 Gersten 权结构，并在适当条件下证明其权谱序列计算 $\delta$-逐层谱序列。