[论文解读] The local theta correspondence and the local Gan-Gross-Prasad conjecture for the symplectic-metaplectic case

Hiraku Atobe|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 50被引用 11

一句话总结

本文在特征为零的非阿代尔局部域上证明了对称-辛马蒂普利克情形下的局部 Gan-Gross-Prasad 猜想，通过局部 Langlands 对应和 theta 对应建立了某些 Hom 空间的非零性。关键结果在温和 L-参数假设下确认了该猜想，完成了经典群情形下 GGP 猜想的最后一个未解决案例。

ABSTRACT

We prove the local Gan-Gross-Prasad conjecture for the symplectic-metaplectic case under some assumptions. This is the last case of the local Gan-Gross-Prasad conjectures. We also prove two of Prasad's conjectures on the local theta correspondence in the almost equal rank case.

研究动机与目标

• 通过解决尚未证明的对称-马蒂普利克情形，完成对经典群的局部 Gan-Gross-Prasad 猜想的证明。
• 利用局部 Langlands 对应和 theta 对应，建立 GGP 猜想中傅里叶-雅可比情形下 Hom 空间的非零性准则。
• 证明 Prasad 关于马蒂普利克群在几乎相等秩情形下的局部 theta 对应的两个猜想。
• 通过 theta 对应将 Vogan L-包框架扩展至包含马蒂普利克群的真实表示。

提出的方法

• 利用拟分裂对称群与特殊正交群的局部 Langlands 对应，以 Arthur 的稳定化结果为参数化的基础。
• 应用 $\widetilde{\mathrm{Sp}}(W_{2n})$ 与 $\mathrm{SO}(V_{2n+1})$ 之间的 theta 对应，通过 $\mathrm{SO}(V_{2n+1})$ 的 $L$-参数参数化马蒂普利克群的真实表示。
• 采用 Vogan $L$-包框架，将群 $G$ 及其纯内形的不可约表示与 $L$-参数 $\phi$ 关联，建立双射 $\iota_{\mathfrak{w}}: \Pi_\phi \to \mathrm{Irr}(\pi_0(S_\phi))$。
• 利用 Kudla 对 Weil 表示的 Jacquet 模的滤子结构，分析标准模及其 theta 提升的结构。
• 应用诱导与抛物诱导函子的正合性，证明在非零条件下，标准模的 Langlands 商同构于一个表示的 theta 提升。
• 依赖 theta 提升的单射性与标准模的不可约性（来自 [35] 和 [6]），推导出当 theta 提升非零时，标准模不可约。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\widetilde{\mathrm{Sp}}(W_{2n}) \times \mathrm{Sp}(W_{2n})$ 的不可约真实表示 $\pi$，何时有 $\mathrm{Hom}_{\Delta\widetilde{\mathrm{Sp}}(W_{2n})}(\pi \otimes \overline{\omega_\psi}, \mathbb{C})$ 为零或非零？
• RQ2 如何利用局部 Langlands 对应和 theta 对应，形式化并证明对称-马蒂普利克情形下的局部 Gan-Gross-Prasad 猜想？
• RQ3 当其 theta 提升至特殊正交群非零时，马蒂普利克群表示的标准模在何种条件下不可约？
• RQ4 在何种条件下，标准模的 Langlands 商同构于原始表示的 theta 提升？

主要发现

• 在 $L$-参数为温和的假设下，证明了对称-马蒂普利克情形下的局部 Gan-Gross-Prasad 猜想。
• 与通用 $L$-参数相关的标准模 $\widetilde{\pi}$，若其 theta 提升 $\theta_\psi(\widetilde{\pi})$ 非零，则不可约。
• 标准模 $\widetilde{\pi}$ 的 Langlands 商 $\widetilde{\pi}_1$ 的 theta 提升 $\theta_\psi(\widetilde{\pi}_1)$ 同构于标准模 $\mathrm{Ind}_{P^\circ}^{\mathrm{SO}(V_{2n+1}^\bullet)}(\tau_1^\vee|\det|_F^{-s_1} \boxtimes \cdots \boxtimes \theta_\psi(\widetilde{\pi}_0))$。
• 由于右侧诱导表示的不可约性已在 [35, Théorème (i)] 中确立，标准模的不可约性随之成立。
• theta 对应的单射性表明 $\widetilde{\pi}_1$ 必为 $\widetilde{\pi}$ 的 Langlands 商，且因 Langlands 商的重数为一，故 $\widetilde{\pi}$ 不可约。
• 该证明确认了 Prasad 关于马蒂普利克群在几乎相等秩情形下局部 theta 对应的两个猜想。