[论文解读] On the noncommutative residue for pseudodifferential operators with log-polyhomogeneous symbols

Matthias Lesch|ArXiv.org|Aug 13, 1997

Advanced Operator Algebra ResearchMathematics参考文献 13被引用 19

一句话总结

本文引入了一类带有对数齐次符号的伪微分算子代数——即涉及余切变量对数幂的符号——并为此类算子建立了广义的非交换迹。研究证明，尽管由于高阶对数项的存在，整个代数缺乏非平凡迹，但存在一个更高阶的非交换迹泛函层级，且 Kontsevich–Vishik 迹可自然地推广到此设定中，通过 zeta 函数的亚纯开拓提供了一个迹泛函。

ABSTRACT

We study various aspects of the noncommutative residue for an algebra of pseudodifferential operators whose symbols have an expansion $a\sim \sum_{j=0}^\infty a_{m-j}, a_{m-j}(x,ξ)=\sum_{l=0}^k a_{m-j,l}(x,ξ) \log^l|ξ|,$ where $a_{m-j,l}$ is homogeneous in $ξ$ of degree $m-j$. We will explain why this algebra of pseudodifferential operators is natural. For a pseudodifferential operator in this class, $A$, and a classical elliptic pseudodifferential operator, $P$, we show that the generalized zeta-function $\Tr(AP^{-s})$ has a meromorphic continuation to the whole complex plane, however possibly with higher order poles. Our algebra of operators has a bigrading given by the order and the highest log-power occuring in the symbol expansion. We construct "higher" noncommutative residue functionals on the subspaces given by the log-grading. However, in contrast to the classical case we prove that the whole algebra does not admit any nontrivial traces. Finally we show that the analogue of the Kontsevich-Vishik trace also exists on our algebra. Our method also provides an alternative approach to the Kontsevich-Vishik trace.

研究动机与目标

• . 定义并研究一类自然的带有对数齐次符号的伪微分算子代数，扩展经典理论。
• . 将辛迹和非交换迹推广至辛锥上的对数齐次函数。
• . 构造按对数幂分级的、由对数幂分级索引的高阶非交换迹泛函。
• . 证明由于热展开中存在高阶对数项，整个代数不具有非平凡迹。
• . 通过广义 zeta 函数的亚纯开拓，将 Kontsevich–Vishik 迹推广至该代数。

提出的方法

• . 将对数齐次符号引入为齐次分量乘以 |ξ| 的对数幂的展开式。
• . 将辛迹推广至辛锥上的对数齐次函数，表明其阻碍了泊松括号之和的表示。
• . 使用梅林变换将广义 ζ-函数 Tr(AP−s) 与含对数项的热迹渐近展开联系起来。
• . 在按对数幂分级的子空间上定义高阶非交换迹泛函 Resk，并证明其在交换子上为零。
• . 证明 Tr(AP−s) 在 C 上存在亚纯开拓，且对于 CLa,k 中的算子，极点阶数最高可达 k+1。
• . 通过在 s=0 处取值 Tr(AP−s) 构造 Kontsevich–Vishik 迹，证明其满足迹性与局部性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 . 非交换迹能否推广至带有对数齐次符号的伪微分算子？在此设定下，迹存在的障碍是什么？
• RQ2 . 热迹展开中的高阶对数项如何影响伪微分算子代数上迹的存在性？
• RQ3 . 是否存在一个与符号对数幂分级相对应的迹泛函层级？这些泛函是否在交换子上为零？
• RQ4 . Kontsevich–Vishik 迹能否推广至该代数？其是否可通过 zeta 函数正则化表征？
• RQ5 . 辛迹在阻碍对数齐次函数表示为泊松括号之和方面起什么作用？

主要发现

• . 对数齐次算子的广义 ζ-函数 Tr(AP−s) 在 C 上存在亚纯开拓，极点阶数最高可达 k+1。
• . 由于高阶对数项的存在，对数齐次伪微分算子的整个代数不具有非平凡迹。
• . 在按对数幂分级的子空间上存在一个高阶非交换迹泛函层级 Resk，且其在交换子上为零。
• . Kontsevich–Vishik 迹可推广至该代数，且满足 TR(A) = Tr(AP−s)|s=0（当 P 为椭圆算子时）。
• . 对数幂分级的迹泛函 Resk 满足关系式 Resk+1(TR(A(z)))|z=ν = (−1)k+1/(k+1) × Resk(A(ν))，其中 A(z) 为全纯族。
• . 辛锥上对数齐次函数的辛迹阻碍了这些函数表示为泊松括号之和，推广了经典情形。