研究动机与目标

提出的方法

通过涉及 $(p,q)$-移位阶乘的无穷乘积定义 $(p,q)$-Gamma 函数：$\Gamma_{p,q}(x) = \frac{(p\ominus q)_{p,q}^\infty}{(p^x\ominus q^x)_{p,q}^\infty}(p-q)^{1-x}$。
通过关系式 $B_{p,q}(x,y) = \frac{\Gamma_{p,q}(x)\Gamma_{p,q}(y)}{\Gamma_{p,q}(x+y)}$ 引入 $(p,q)$-Beta 函数，推广经典 Beta-Gamma 关系。
利用 $(p,q)$-阶乘、$(p,q)$-二项式系数和 $(p,q)$-幂来推导函数恒等式和递推关系。
建立 $(p,q)$-勒让德乘法公式：$\Gamma_{p,q}(2x)\Gamma_{p^2,q^2}(\frac{1}{2}) = (p+q)^{2x-1}\Gamma_{p^2,q^2}(x)\Gamma_{p^2,q^2}(x+\frac{1}{2})$。
证明 $(p,q)$-高斯乘法公式：$\Gamma_{p,q}(nx)\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma_{p^n,q^n}(\frac{k}{n}) = [n]_{p,q}^{nx-1}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma_{p^n,q^n}(x+\frac{k}{n})$。
利用无穷乘积和 $(p,q)$-移位阶乘的性质验证恒等式，并推导 $(p,q)$-Beta 函数的递推关系。

$(p,q)$-Gamma 函数通过涉及 $(p,q)$-移位阶乘的无穷乘积定义，推广了经典函数和 $q$-Gamma 函数。
建立了 $(p,q)$-勒让德乘法公式：$\Gamma_{p,q}(2x)\Gamma_{p^2,q^2}(\frac{1}{2}) = (p+q)^{2x-1}\Gamma_{p^2,q^2}(x)\Gamma_{p^2,q^2}(x+\frac{1}{2})$。
推导出 $(p,q)$-高斯乘法公式：$\Gamma_{p,q}(nx)\prod_{k=1}^{n-1}\Gamma_{p^n,q^n}(\frac{k}{n}) = [n]_{p,q}^{nx-1}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma_{p^n,q^n}(x+\frac{k}{n})$。
$(p,q)$-Beta 函数满足递推关系：$B_{p,q}(x,y+1) = \frac{[y]_{p,q}}{[x+y]_{p,q}}B_{p,q}(x,y)$ 和 $B_{p,q}(x+n,y) = \frac{(p^x\ominus q^x)^n_{p,q}}{(p^{x+y}\ominus q^{x+y})^n_{p,q}}B_{p,q}(x,y)$。
当 $p \to 1$ 时，$(p,q)$-Gamma 和 $(p,q)$-Beta 函数退化为它们的 $q$-类比，确认与先前工作的兼容性。
通过无穷乘积和 $(p,q)$-阶乘恒等式的代数运算证明了函数恒等式，确立了该框架的一致性。