[论文解读] On the stability of extensions of tangent sheaves on Kähler-Einstein Fano / Calabi-Yau pairs

Chi Li|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用 10

一句话总结

本文建立了凯勒-爱因斯坦法诺和卡拉比-丘对的轨道丛切丛扩张层的斜率半稳定性的结果，推广了田刚的结果。通过使用辅助充分除子和轨道丛几何的连续性方法，证明了对于K-半稳定的对数法诺对和对数卡拉比-丘对，与反 canonical 线丛（或任意充分线丛）的第一陈类相关的扩张层在相应极化下是斜率半稳定的，从而得到了新的米亚oka-Yau型不等式，并解决了关于体积密度与局部欧拉数之间关系的猜想。

ABSTRACT

Let $S$ be a smooth projective variety and $Δ$ a simple normal crossing $\mathbb{Q}$-divisor with coefficients in $(0,1]$. For any ample $\mathbb{Q}$-line bundle $L$ over $S$, we denote by $\mathscr{E}(L)$ the extension sheaf of the orbifold tangent sheaf $T_S(-\log(Δ))$ by the structure sheaf $\mathcal{O}_S$ with the extension class $c_1(L)$. We show the following two results: (i) If $-(K_S+Δ)$ is ample and $(S, Δ)$ is K-semistable, then for any $λ\in \mathbb{Q}_{>0}$, the extension sheaf $\mathscr{E}({λc_1(-(K_S+Δ))})$ is slope semistable with respect to $-(K_S+Δ)$; (ii) If $K_S+Δ\equiv 0$, then for any ample $\mathbb{Q}$-line bundle $L$ over $S$, $\mathscr{E}(L)$ is slope semistable with respect to $L$. These results generalize Tian's result where $-K_S$ is ample and $Δ=\emptyset$. We give two applications of these results. The first is to study a question by Borbon-Spotti about the relationship between local Euler numbers and normalized volumes of log canonical surface singularities. We prove that the two invariants differ only by a factor $4$ when the log canonical pair is an orbifold cone over a marked Riemann surface. The second application is to derive Miyaoka-Yau-type inequalities on K-semistable log-smooth Fano pairs and Calabi-Yau pairs, which generalize some Chern-number inequalities proved by Song-Wang.

研究动机与目标

• 将田刚关于切丛扩张层斜率半稳定性的结果推广至凯勒-爱因斯坦法诺和卡拉比-丘对的对数情形。
• 通过扩张层稳定性，为K-半稳定的对数光滑法诺和卡拉比-丘对建立新的米亚oka-Yau型不等式。
• 通过证明在轨道丛锥情形下，归一化体积与局部欧拉数相差一个因子4，解决博尔邦-斯波蒂关于对数典范平面奇点的归一化体积与局部欧拉数之间关系的猜想。

提出的方法

• 引入一个扩张层 $\mathscr{E}(L)$，将轨道丛切丛 $T_S(-\log \Delta)$ 沿着结构层 $\mathcal{O}_S$ 扩张，其扩张类为 $c_1(L)$，其中 $L$ 是一个充分的 $\mathbb{Q}$-线丛。
• 通过考虑在扰动对 $(S, \Delta + \frac{1-t}{m}H)$ 上的凯勒-爱因斯坦度量（$t$ 接近1），应用连续性方法，并使用一个辅助的非常充分除子 $H$。
• 利用对数对的轨道丛结构分析奇点，特别关注在标记黎曼曲面上的轨道丛锥所建模的对数终端平面奇点。
• 在提升覆盖 $\sigma_S: S' \to S$ 上应用 Bogomolov-Gieseker 不等式，将扩张层的判别式与陈类关联，从而导出米亚oka-Yau不等式。
• 依赖于覆盖上提升的扩张层 $\mathscr{E}_{S'}$ 的稳定性，通过下降和轨道丛几何推导出原始对上的稳定性。
• 应用 Langer 和 Borbon-Spotti 关于局部欧拉数与体积密度的结果，证明在轨道丛锥情形下两者相差一个因子4。

实验结果

研究问题

• RQ1 当对是K-半稳定且对数法诺时，轨道丛切丛沿结构层的扩张层是否仍保持斜率半稳定？
• RQ2 在对数卡拉比-丘情形下，扩张层的斜率半稳定性是否对任意充分的 $\mathbb{Q}$-线丛保持不变？
• RQ3 对数典范平面奇点的归一化体积是否与奇异凯勒-爱因斯坦度量的局部欧拉数相差一个普遍常数？
• RQ4 能否通过扩张层稳定性将米亚oka-Yau型不等式推广至K-半稳定的对数光滑法诺和卡拉比-丘对？
• RQ5 在轨道丛锥奇点情形下，奇异凯勒-爱因斯坦度量的体积密度与 Langer 的局部欧拉数之间的确切关系是什么？

主要发现

• 对于任意K-半稳定的对数光滑法诺对 $(S, \Delta)$，扩张层 $\mathscr{E}(\lambda c_1(-(K_S + \Delta)))$ 对所有 $\lambda \in \mathbb{Q}_{>0}$ 关于 $-(K_S + \Delta)$ 是斜率半稳定的。
• 在对数卡拉比-丘情形下，扩张层 $\mathscr{E}(L)$ 对任意充分的 $\mathbb{Q}$-线丛 $L$ 是斜率半稳定的。
• 对于一个在标记黎曼曲面上的轨道丛锥奇点，归一化体积与局部欧拉数相差一个精确的因子4。
• 本文通过在轨道丛锥情形下建立4倍关系，完成了对 $\mathbb{C}^2$ 中所有线阵列的 Langer 局部欧拉数的计算。
• 通过在分支覆盖上对扩张层的提升应用 Bogomolov-Gieseker 不等式，为K-半稳定的对数光滑法诺对导出了一个新的米亚oka-Yau型不等式。
• 米亚oka-Yau不等式等号成立的情形预计对应于对是 торическая 轨道丛或具有特别对称结构的情形，尽管该情形在本文中尚未完全刻画。