[论文解读] Operads, modules and topological field theories

Geoffroy Horel|arXiv (Cornell University)|May 21, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文发展了关于操作代数上模的一般理论，表明此类模对应于操作族中右模上的结合代数。它在以流形和 bordisms 为指标的模类别上构造了函子性结构，从而导出从一个 cobordism 的 ∞-操作族到 ∞-范畴的 ∞-操作族的映射，通过 $\mathscr{E}_d$-代数的分解同调实现了拓扑场论。

ABSTRACT

In this paper, we describe a general theory of modules over an algebra over an operad. We also study functors between categories of modules. Specializing to the operad E_d of little d-dimensional disks, we show that each (d-1)-manifold gives rise to a theory of modules over E_d-algebras and each bordism gives rise to a functor from the category defined by its incoming boundary to the category defined by its outgoing boundary. We describe how to assemble these categories into a map from a certain operad to the operad of (infinity)-categories.

研究动机与目标

• 对给定操作族 $\mathscr{O}$ 上代数的全部合理模概念进行分类，表明其对应于右 $\mathscr{O}$-模范畴中的结合代数。
• 使用模型范畴和单纯操作族，构建模类别上操作的同伦一致框架。
• 建立 $(d-1)$-流形与 $\mathscr{E}_d$-代数上模类别的对应关系，以及 bordisms 与这些类别之间函子的对应关系。
• 定义从与 bordism 相关的 $∞$-操作族到 $∞$-范畴的 $∞$-操作族的映射，通过分解同调实现拓扑场论。
• 使用模型范畴技术而非 $∞$-范畴，推广 Lurie 关于 $\mathscr{E}_d$-代数上模类别 $\mathscr{E}_d$-张量结构的结果。

提出的方法

• 引入莫里塔操作族 $\mathscr{M}or(\mathscr{O})$，其对象为右 $\mathscr{O}$-模范畴中的结合代数，态射为双模和弱等价。
• 构造一个模型范畴的单纯操作族，允许通过从 $\mathscr{O}$ 到该操作族的映射来定义模型范畴中的 $\mathscr{O}$-代数。
• 使用 Rezk 的单体构造，将模型范畴与完全的塞加空间相关联，确保理论的同伦一致性。
• 为 $\mathscr{O}$-代数上 $P$-型模类别配备模型结构，使其适用于同伦代数分析。
• 定义从 $∞$-操作族 $f\widehat{\mathscr{C}ob}_d$（与 bordism 范畴相关）到 $∞$-范畴的 $∞$-操作族的函子，编码场论结构。
• 将理论应用于 $\mathscr{E}_d$-代数，为 $(d-1)$-流形构造模类别，为 bordisms 构造函子，使用分解同调。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个给定操作族 $\mathscr{O}$ 上代数的模理论的完整分类是什么？
• RQ2 如何为 $\mathscr{O}$-代数上模类别构造一个同伦一致的张量或操作结构？
• RQ3 分解同调能否用于将模类别分配给流形、将函子分配给 bordisms，从而构成一个拓扑场论？
• RQ4 $\mathscr{O}$-代数在模型范畴中的理论与 $∞$-范畴构造有何关系，特别是在 $\mathscr{E}_d$-代数的背景下？
• RQ5 莫里塔操作族在组织模的形状及其相关函子中起什么作用？

主要发现

• $\mathscr{O}$-代数上的模由右 $\mathscr{O}$-模范畴中的结合代数分类，每个此类代数定义了一类独特的‘模形状’。
• $\mathscr{O}$-代数上 $P$-型模类别的范畴具有明确定义的模型结构，使其适用于同伦分析。
• 构建了从 $(d-1)$-流形和 bordisms 到模型范畴的函子性分配，且与复合相容。
• 由此产生的结构是从 $f\widehat{\mathscr{C}ob}_d$ 到 $∞$-范畴的 $∞$-操作族的映射，实现了拓扑场论。
• 对于 $\mathscr{E}_d$-代数，该理论恢复并推广了 Lurie 关于左模类别上 $\mathscr{E}_d$-张量结构的结果。
• 该构造具有同伦一致性：操作族的弱等价诱导模类别上的奎伦等价，确保在同伦下不变。