[论文解读] Orbifold Vortex and Super Liouville Theory

Jian Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用 3

一句话总结

该论文在非阿贝尔任意子在轨道空间 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上与 $\mathcal{N}=1$ 超黎曼几何理论中最低退化罗蒙场关联函数之间建立了类似 AGT 的对偶性。通过局部化技术，推导出轨道空间任意子的划分函数，并在固定参数字典后，证明其与超黎曼几何理论中的超几何函数等价，从而将 AGT 对偶性扩展至具有轨道化规范理论的混合罗蒙/NS sector。

ABSTRACT

We study the nonabelian vortex counting problem on $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$. At first we calculate vortex partition functions on the orbifold space using localization techniques, then we find how to extract orbifold vortex partitions function from orbifold linear quiver instanton partition functions. Finally, we study the AGT like relation between orbifold SU(2) vortices and $\mathcal{N} = 1$ super Liouville theory in the mixed R/NS sector by fixing the dictionary among parameters in the common hypergeometric functions system.

研究动机与目标

• 将 AGT 对偶性扩展至轨道化空间上的非阿贝尔任意子，特别是 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$。
• 使用类似于瞬子计数中采用的局部化技术，推导 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上的任意子划分函数。
• 通过将任意子的划分函数与 $\mathcal{N}=1$ 超黎曼几何理论中退化场的关联函数关联，识别轨道化任意子的共形场论对偶。
• 在混合罗蒙/NS sector 中，建立规范理论参数与超黎曼几何理论动量之间的一致参数字典。
• 证明轨道化任意子划分函数与最低退化罗蒙场四点关联函数中出现的超几何函数结构一致。

提出的方法

• 将局部化技术应用于计算 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上的任意子划分函数，类似于在 $\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_p$ 中用于瞬子计数的方法。
• 通过 $\mathbb{Z}_p$ 轨道作用下瞬子模空间的分解，推导出任意子划分函数，并为规范参数和质量参数分配离散电荷。
• 通过将多行杨图组合减少为单行配置，建立轨道瞬子与轨道任意子划分函数之间的关系。
• 在矢量极点参数、质量参数与超黎曼几何理论动量之间建立参数字典，将任意子划分函数映射为超几何函数。
• 通过匹配 $\mathcal{N}=1$ 超黎曼几何理论中最低退化罗蒙场关联函数的超几何函数结构，验证该对偶性。
• 分析确认轨道化任意子划分函数对应于一个四点函数，其中包含一个退化场与三个罗蒙场，与 AGT 框架一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用局部化技术计算 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上的任意子划分函数？其与轨道化瞬子划分函数的关系如何？
• RQ2 在混合罗蒙/NS sector 中，将规范理论参数映射至 $\mathcal{N}=1$ 超黎曼几何理论动量的精确参数字典是什么？
• RQ3 如何通过超黎曼几何理论将 AGT 对偶性扩展至轨道化空间上的非阿贝尔任意子？
• RQ4 轨道化任意子划分函数的超几何函数结构是否与超黎曼几何理论中最低退化罗蒙场关联函数的结构一致？
• RQ5 该对偶性在更高阶瞬子修正下是否稳健？能否推广至具有简单表面算符的 $\mathbb{Z}_2$ 轨道化？

主要发现

• 使用局部化技术计算了 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上的任意子划分函数，其结构类似于瞬子划分函数，但已适配于任意子模空间。
• 证明轨道化任意子划分函数可从轨道化线性 quiver 瞬子划分函数通过减少至一维杨图配置中提取。
• 直接建立了轨道化任意子划分函数与 $\mathcal{N}=1$ 超黎曼几何理论中退化罗蒙场四点关联函数的超几何函数因子之间的对应关系。
• 参数字典为：$b^{-1} = \hbar$，$\alpha_1 = a + \text{const}$，$\alpha_2 + \alpha_3 = m_1 + \text{const}$，$\alpha_2 - \alpha_3 = m_2 + \text{const}$，与非轨道化 AGT 情况一致，仅存在常数偏移。
• 该识别在最低退化罗蒙态下成立，且在参数重定义后，双方的超几何函数结构完全匹配。
• 结果表明 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_2$ 瞬子划分函数与 $\mathcal{N}=1$ 超黎曼几何理论之间存在完整的 AGT 对偶性，且在三瞬子阶次内验证了对偶性。