[论文解读] P-adic L-functions and diagonal cycles for GSp(4) x GL(2) x GL(2)

David Loeffler, Sarah Livia Zerbes|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2020

Advanced Algebra and Geometry参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文提出了一种关于 GSp(4) × GL(2) × GL(2) 上自守形式的 p 进 L 函数的猜想性理论，该理论插值中心 L 值的平方根，并通过斜周期（diagonal cycles）与伽罗瓦上同调类家族建立了几何联系。其关键贡献是提出了一个猜想性的显式互惠律，将这些 p 进 L 函数与 p 进上同调算子映射下斜周期的像联系起来，推广了 Darmon 与 Rotger 在 GL₂×GL₂×GL₂ 三重积上的工作。

ABSTRACT

We develop a (largely conjectural) theory of p-adic L-functions interpolating square roots of central L-values for automorphic forms on GSp(4) x GL(2) x GL(2), and a relation between these p-adic L-functions and families of Galois cohomology classes interpolating algebraic cycles. Our theory is a generalisation of the theory of "diagonal cycles" developed by Darmon and Rotger for the GL(2) triple product.

研究动机与目标

• 将斜周期与 p 进 L 函数的理论从 GL₂×GL₂×GL₂ 扩展至 GSp(4)×GL(2)×GL(2)，推广 Darmon 与 Rotger 的框架。
• 在不同权区域中，构造插值 GSp(4)×GL(2)×GL(2) 上自守形式中心 L 值平方根的 p 进 L 函数。
• 提出并猜想一个显式互惠律，将这些 p 进 L 函数与由斜周期产生的伽罗瓦上同调类联系起来。
• 为 Birch–Swinnerton-Dyer 猜想及相关高秩情形 L 函数特殊值提供几何与算术框架。

提出的方法

• 作者在两个不同的权区域中定义了 p 进 L 函数：(f) 对应 GSp(4) 主权，(e) 对应平衡权，通过插值中心 L 值的平方根实现。
• 通过 Kuga–Sato 簇上的斜周期构造伽罗瓦上同调类家族，在三维 Hida 家族参数空间中插值代数周期。
• 该理论依赖于 Perrin-Riou 上同调算子映射，将上同调类与 p 进 L 函数联系起来，扩展了 GL₂×GL₂×GL₂ 的互惠律。
• 关键构造包括从 de Rham 上同调的对偶到 Iwasawa 代数分式域的典范求值映射，该映射插值经典特殊值。
• 方法使用 GSp(4) 与 GL(2) 的 Hida 家族，结合基底变换与对偶性技术，关联上同调与 L 函数的插值。
• 显式互惠律被猜想通过如下链式映射成立：Selmer 复形 → p 进 Hodge 上同调 → de Rham 模 → 求值映射，其结果与 p 进 L 函数一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造 p 进 L 函数，使其插值 GSp(4)×GL(2)×GL(2) 上自守形式的中心 L 值平方根？
• RQ2 这些 L 函数在代数周期与伽罗瓦上同调方面的几何与上同调解释是什么？
• RQ3 显式互惠律如何将 p 进上同调算子下斜周期类的像与不同权区域中的 p 进 L 函数联系起来？
• RQ4 在尖形式 Hida 家族的情形下，能否证明该互惠律，尽管高秩自守形式存在技术挑战？
• RQ5 变形技术与高阶 Hida 理论在建立完整互惠律方面扮演何种角色，特别是在晶态点的有限集合之外？

主要发现

• 本文在三个主导权区域（f）对应 GSp(4)，（g）对应 GL(2)₁，（h）对应 GL(2)₂ 中，分别构造了三个插值中心 L 值平方根的 p 进 L 函数。
• 构造了一个由斜周期产生的伽罗瓦上同调类家族，并证明其在平衡区域（e）中插值，尽管该区域无中心 L 值。
• 猜想显式互惠律成立：斜周期类在 p 进上同调算子映射下的像等于相邻区域中的 p 进 L 函数，具体而言 Δ(Π×G, (e)) 映射至 L_p(Π×G, (f))。
• 在有限个晶态点（φ ∈ X_e^cris）上验证了该猜想，为互惠律提供了强有力证据。
• 作者提出未来可通过多变量 p 进 L 函数与高阶 Hida 理论实现证明策略，尽管当前方法仅限于有限点集。