[论文解读] Phaseless Sampling and Linear Reconstruction of Functions in Spline Spaces

Wenchang Sun|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2017

Optical measurement and interference techniques参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文建立了由具有任意节点的 B 样条生成的实与复样条空间中函数的无相位采样及线性重构的必要与充分条件。研究证明，在复样条空间中，由于 $ f $ 与 $ \overline{f} $ 之间存在模糊性，完全相位恢复是不可能的；然而，平方模 $ |f(x)|^2 $ 可以从采样强度中唯一且线性地重构，且通过有限维线性代数方法提供了显式重构公式与稳定性保证。

ABSTRACT

We study phaseless sampling in spline spaces generated by B-splines with arbitrary knots. For real spline spaces, we give a necessary and sufficient condition for a sequence of sampling points to admit a local phase retrieval of any nonseparable function. We also study phaseless sampling in complex spline spaces and illustrate that phase retrieval is impossible in this case. Nevertheless, we show that phaseless sampling is possible. For any function $f$ in a complex spline space, no mater it is separable or not, we show that $|f(x)|^2$ is uniquely determined and can be recovered linearly from its sampled values at a well chosen sequence of sampling points. We give necessary and sufficient conditions for such sequences.

研究动机与目标

• 表征能够从无符号采样 $ |f(x_n)| $ 唯一确定非可分实样条函数（至多全局相位）的无相位采样序列。
• 研究在复样条空间中是否可实现相位恢复，其中 $ f $ 与 $ \overline{f} $ 产生相同的强度测量结果。
• 建立在复样条空间中，从采样强度值线性重构 $ |f(x)|^2 $ 的条件。
• 在实与复两种情形下，提供显式重构公式，并通过线性采样序列证明稳定性。

提出的方法

• 将无相位采样序列定义为：仅从无符号采样 $ |f(x_n)| $ 唯一确定非可分函数（至多全局相位）的序列。
• 使用具有任意节点序列和可变重数的 B 样条基函数来建模样条空间 $ \mathcal{V}_m $ 与 $ \mathcal{W}_m $。
• 将空间 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ 的维数表征为 $ M_k = m(k+1) + 1 + \sum_{i=1}^k m_i $，其中 $ m_i $ 表示节点 $ t_i $ 处的重数。
• 构造 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ 的基 $ \mathcal{P}_k $，其由在每个区间 $ (t_i, t_{i+1}) $ 上次数不超过 $ 2m $ 的多项式组成，并在节点处满足连续性与光滑性约束。
• 将重构问题表述为线性系统：$ F = \Phi c $，其中 $ F $ 包含采样得到的 $ |f(x_n)|^2 $，$ \Phi $ 为基函数在采样点处的取值构成的矩阵，$ c $ 通过 $ c = (\Phi^t \Phi)^{-1} \Phi^t F $ 求解。
• 通过 $ |f(x)|^2 = \sum_{n=1}^N |f(x_n)|^2 S_n(x) $ 恢复 $ |f(x)|^2 $，其中 $ S_n(x) $ 由 $ \Phi (\Phi^t \Phi)^{-1} (h_1, \dots, h_{M_k})^t $ 推导得出。

实验结果

研究问题

• RQ1 采样序列 $ \{x_n\} $ 需满足何种条件，才能实现在实样条空间中对非可分函数的局部无相位恢复（至多符号不确定）？
• RQ2 在复样条空间中是否可实现相位恢复，其中 $ f $ 与 $ \overline{f} $ 产生相同的强度数据？
• RQ3 在复样条空间中，是否可从无相位采样线性重构 $ |f(x)|^2 $，若可，其条件为何？
• RQ4 空间 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ 的维数是多少？其与节点序列及重数的关系如何？
• RQ5 如何从采样强度值导出 $ |f(x)|^2 $ 的显式线性重构公式？

主要发现

• 在实样条空间中，采样序列 $ \{x_n\} $ 能够实现对非可分函数的局部无相位恢复（至多符号不确定）当且仅当对应的矩阵 $ \Phi $ 满秩，其列秩为 $ M_k $，其中 $ M_k = m(k+1) + 1 + \sum_{i=1}^k m_i $。
• 在复样条空间 $ \mathcal{W}_m $ 中，相位恢复是不可能的，因为仅从强度测量无法区分 $ f $ 与 $ \overline{f} $。
• 然而，只要采样序列满足与实情形相同的秩条件，$ |f(x)|^2 $ 就可从采样值 $ |f(x_n)|^2 $ 唯一且线性地重构。
• 空间 $ |\mathcal{V}_m|^2_{[t_0,t_k]} $ 的维数为 $ M_k $，且与重数为 $ \tilde{m}_i = m + m_i $ 的 $ 2m $ 次 B 样条空间同构。
• 对 $ |f(x)|^2 $ 的重构是稳定且线性的：$ |f(x)|^2 = \sum_{n=1}^N |f(x_n)|^2 S_n(x) $，其中 $ S_n $ 可通过采样矩阵 $ \Phi $ 的伪逆计算得出。
• 重构公式通过基函数 $ h_i $ 显式导出，系数 $ c $ 通过 $ c = (\Phi^t \Phi)^{-1} \Phi^t F $ 求解，从而保证唯一性与稳定性。