[论文解读] Piecewise structure of Lyapunov functions and densely checked decrease conditions for hybrid systems

Matteo Della Rossa, Rafal Goebel+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2020

Stability and Controllability of Differential EquationsEngineering参考文献 43被引用 22

一句话总结

本文提出了一类分段结构的、局部Lipschitz连续的Lyapunov函数，用于混合动力系统，使得稳定性分析仅需在流集的某个稠密子集上验证Lyapunov递减条件，从而避免在不可微点处进行逐点检查。关键贡献在于提供了一种比Clarke广义梯度条件更宽松的替代方法，即使在标准条件于边界处失效时，该方法依然有效。

ABSTRACT

We propose a class of locally Lipschitz functions with piecewise structure for use as Lyapunov functions for hybrid dynamical systems. Subject to some regularity of the dynamics, we show that Lyapunov inequalities can be checked only on a dense set and thus we avoid checking them at points of nondifferentiability of the Lyapunov function. Connections to other classes of locally Lipschitz or piecewise regular functions are also discussed and applications to hybrid dynamical systems are included.

研究动机与目标

• 开发一类适用于混合系统的、具有分段结构的局部Lipschitz连续Lyapunov函数。
• 通过仅在流集的稠密子集上检查Lyapunov递减条件，实现稳定性验证，避免处理不可微点。
• 提供比经典基于Clarke梯度的方法更宽松的稳定性条件。
• 基于这些函数，建立混合系统统一全局渐近稳定（UGAS）的充分条件。
• 通过显式构造二维系统中的非凸与凸Lyapunov函数，验证该方法。

提出的方法

• 引入一类由连续可微函数的逐点最大值与最小值构造的局部Lipschitz函数，推广了分段二次形式。
• 在动态F满足正则性假设的前提下，证明Lyapunov递减不等式仅需在流集C的稠密子集上验证。
• 利用正则化与卷积技术分析非光滑行为，支持稠密检查条件。
• 将该框架应用于流发生在C上、跳跃发生在D上的混合系统，结合C上的稠密检查条件与D上的标准跳跃条件。
• 依赖逆Lyapunov定理及Clarke广义梯度的性质，将新条件与现有条件进行比较。
• 构造显式例子：两个不定二次型的最大值、三个二次型的中值，以及通过切线线段拼接构造的凸化版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在流集C的稠密子集上验证Lyapunov递减条件，从而避开不可微点？
• RQ2 所提出的条件在限制性上与Clarke广义梯度条件相比如何？
• RQ3 该方法是否可应用于具有不连续动力学和状态依赖切换的混合系统？
• RQ4 能否构造满足稠密检查条件的非凸与凸Lyapunov函数？
• RQ5 是否可能在流集边界处对Lyapunov函数进行拼接，同时在不依赖Clarke条件的前提下保持稳定性验证？

主要发现

• 所提出的Lyapunov函数允许仅在流集C的稠密子集上检查递减条件，从而绕过不可微点，实现稳定性验证。
• 与基于Clarke梯度的方法相比，该方法条件更宽松，尤其在标准条件于边界处失效时表现更优。
• 对于ε=0.1的二维系统，所有三个构造的Lyapunov函数——V_M、V_mid与V_conv——均满足推论1的条件，证明了原点的UGAS。
• 尽管在x₁=0直线（C的边界）上Clarke条件失效，所提方法仍能建立UGAS，表明其对边界问题具有鲁棒性。
• 凸Lyapunov函数V_conv通过将V_mid与在边界处相切的二次形式进行拼接构造，确保连续性并满足稠密检查条件。
• 结果表明，直观的边界拼接方法可在不依赖Clarke条件的前提下得到验证，解决了文献中已知的局限性。