[论文解读] Primal-Proximity Spaces

Ahmad Al-Omari, Murad Ozcog+1 more|arXiv (Cornell University)|May 26, 2023

Fuzzy and Soft Set TheoryDecision Sciences被引用 3

一句话总结

本文引入了原始邻近空间（primal-proximity spaces），一种基于拓扑中滤子（grills）与理想（ideals）对偶性的新型邻近结构。它定义了一个点原始邻近算子，并证明在特定条件下该算子满足Kuratowski闭包公理；同时通过新的闭包类算子构建了一个较弱的拓扑，借助例子与定理建立了其基础性质及相互关系。

ABSTRACT

The main purpose of this paper is to introduce and study the primal-proximity spaces. Also, we define two new operators via primal proximity spaces and investigate some of their fundamental properties. In addition, we obtain a new topology, which is weaker than old one, via these new operators. Moreover, we not only discuss some of their properties but also enrich with some examples.

研究动机与目标

• 提出并形式化原始邻近空间作为一类新型拓扑结构的概念。
• 定义点原始邻近算子并研究其性质，特别是其在特定条件下作为Kuratowski闭包算子的行为。
• 通过源自原始邻近的算子构造一个弱于原始拓扑的新拓扑。
• 通过例子与定理，建立原始邻近、闭包算子与拓扑性质之间的关系。
• 通过引入原始对偶性作为基础机制，扩展现有的邻近与理想拓扑框架。

提出的方法

• 在配备原始结构 $\mathcal{P}$ 的集合 $X$ 上定义原始邻近关系 $\hookrightarrow$，满足五个公理，包括对称性、并集分解性，以及将补集与非邻近性关联的条件。
• 引入原始局部函数 $A^\diamond(\delta,\mathcal{P})$，以刻画 $A$ 不在局部原始的点，作为点原始邻近算子的基础。
• 证明当 $\mathcal{P}$ 满足 $A^c \notin \mathcal{P}$ 的特定条件时，点原始邻近算子满足Kuratowski闭包公理。
• 通过点原始邻近定义第二个算子，该算子在无附加假设下即为Kuratowski闭包算子。
• 从原始邻近关系构造拓扑 $\overset{\hookrightarrow}{\tau}$，并证明集合 $A$ 在此拓扑中为开集当且仅当对所有 $x \in A$，有 $\{x\} \centernot\hookrightarrow A^c$。
• 利用由此拓扑导出的闭包与内部算子，证明 $A \hookrightarrow B$ 当且仅当 $cl_{\overset{\hookrightarrow}{\tau}}(A) \hookrightarrow cl_{\overset{\hookrightarrow}{\tau}}(B)$，建立关键的拓扑等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用滤子与理想对偶性，特别是通过原始结构，定义一种新型邻近关系？
• RQ2 点原始邻近算子在何种条件下满足Kuratowski闭包公理？
• RQ3 原始邻近拓扑与该新结构下集合的闭包性质之间存在何种关系？
• RQ4 新拓扑 $\overset{\hookrightarrow}{\tau}$ 与原始拓扑在开集与闭集性质上如何比较？
• RQ5 原始邻近框架能否用于推导较弱拓扑，同时保持关键拓扑不变量？

主要发现

• 原始邻近关系 $\hookrightarrow$ 满足Efremovič邻近的所有公理，使得 $(X, \hookrightarrow, \mathcal{P})$ 成为具有原始结构的有效邻近空间。
• 当 $A^c \notin \mathcal{P}$ 时，点原始邻近算子 $A^\diamond$ 是Kuratowski闭包算子，建立了原始对偶性与闭包性质之间的联系。
• 从点原始邻近导出的第二个算子在无任何附加条件下即为Kuratowski闭包算子，为原始邻近空间中的闭包构造提供了稳健方法。
• 拓扑 $\overset{\hookrightarrow}{\tau}$ 严格弱于原始拓扑，其依据是 $A \in \overset{\hookrightarrow}{\tau}$ 当且仅当对所有 $x \in A$，有 $\{x\} \centernot\hookrightarrow A^c$。
• 在 $\overset{\hookrightarrow}{\tau}$ 中，集合 $A$ 的闭包满足 $cl_{\overset{\hookrightarrow}{\tau}}(A) = A^\diamond$，即闭包恰好等于原始局部函数。
• 基本等价关系 $A \hookrightarrow B$ 当且仅当 $cl_{\overset{\hookrightarrow}{\tau}}(A) \hookrightarrow cl_{\overset{\hookrightarrow}{\tau}}(B)$ 成立，表明拓扑闭包保持了原始邻近关系。