[论文解读] Probabilistic Spectral Sparsification In Sublinear Time

Yin Tat Lee|arXiv (Cornell University)|Dec 31, 2013

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了概率性 $(\varepsilon,\delta)$-谱稀疏化，这是一种亚线性时间方法，用于构建稀疏图，使其在任意割 $(S,S^c)$ 上保持割值的 $1\pm\varepsilon$ 乘法误差和 $\delta|S|$ 加法误差。该方法在 $\tilde{O}(n/\varepsilon^2\delta)$ 时间内构造出 $O(n\log n/\varepsilon^2)$ 条边，实现了目前已知最快的亚线性时间算法，用于稀疏割、平衡分割和最小 $s$-$t$ 割问题（$\varepsilon n$ 加法误差）。

ABSTRACT

In this paper, we introduce a variant of spectral sparsification, called probabilistic $(\varepsilon,δ)$-spectral sparsification. Roughly speaking, it preserves the cut value of any cut $(S,S^{c})$ with an $1\pm\varepsilon$ multiplicative error and a $δ\left|S ight|$ additive error. We show how to produce a probabilistic $(\varepsilon,δ)$-spectral sparsifier with $O(n\log n/\varepsilon^{2})$ edges in time $ ilde{O}(n/\varepsilon^{2}δ)$ time for unweighted undirected graph. This gives fastest known sub-linear time algorithms for different cut problems on unweighted undirected graph such as - An $ ilde{O}(n/OPT+n^{3/2+t})$ time $O(\sqrt{\log n/t})$-approximation algorithm for the sparsest cut problem and the balanced separator problem. - A $n^{1+o(1)}/\varepsilon^{4}$ time approximation minimum s-t cut algorithm with an $\varepsilon n$ additive error.

研究动机与目标

• 解决在密集图上以亚线性时间求解基于割的优化问题的挑战，由于图的规模过大，显式处理不可行。
• 开发一种新型谱稀疏化形式——概率性 $(\varepsilon,\delta)$-谱稀疏化，为割值提供乘法和加法误差保证。
• 设计一种在亚线性时间内构造此类稀疏化器的算法，避免传统方法所需的 $\tilde{O}(m)$ 时间成本。
• 实现亚线性时间近似基本图问题（如稀疏割和最小 $s$-$t$ 割）的近乎最优查询复杂度和运行时间。

提出的方法

• 提出一种概率谱稀疏化器，对所有实向量 $u$ 满足二次型的下界和上界，确保割值保留具有 $1\pm\varepsilon$ 乘法误差和 $\delta\|u\|_2^2$ 加法误差。
• 利用图结构和集中不等式，而非矩阵集中不等式，避免 $\tilde{O}(m)$ 时间，从而实现亚线性时间构造。
• 采用基于图结构导出的边概率的采样策略，避免显式计算有效电阻。
• 应用随机查询模型，仅探测子线性数量的边，并利用二项分布集中不等式控制割估计中的误差。
• 利用通用图查询模型，其中算法可对输入图进行度数、邻居和边查询。
• 使用 Yao 原理和对抗性图构造证明查询复杂度的下界，表明该算法近乎最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将谱稀疏化适配为在密集无权图上提供亚线性时间保证？
• RQ2 是否可能在亚线性时间内，利用稀疏随机图实现割值保留的 $1\pm\varepsilon$ 乘法误差和 $\delta|S|$ 加法误差？
• RQ3 能否在不计算有效电阻或不产生 $\tilde{O}(m)$ 时间成本的情况下实现此类稀疏化器的构造？
• RQ4 在通用图查询模型中，构造概率性 $(\varepsilon,\delta)$-谱稀疏化器的最优查询复杂度是多少？
• RQ5 与现有亚线性时间算法相比，该方法在割问题的运行时间和近似质量方面表现如何？

主要发现

• 该算法在 $\tilde{O}(n/\varepsilon^2\delta)$ 时间内构造出包含 $O(n\log n/\varepsilon^2)$ 条边的概率性 $(\varepsilon,\delta)$-谱稀疏化器，显著优于以往方法。
• 实现了 $\tilde{O}(n/OPT + n^{3/2+t})$ 时间内对稀疏割和平衡分割问题的 $O(\sqrt{\log n/t})$-近似。
• 为最小 $s$-$t$ 割问题提供了 $n^{1+o(1)}/\varepsilon^4$-时间近似算法，具有 $\varepsilon n$ 加法误差。
• 证明了 $\Omega(n/\varepsilon^2 + n/\delta)$ 的查询复杂度是紧的，表明该算法近乎最优。
• 该方法避免依赖矩阵集中不等式（否则会产生 $\delta \sum d(x)u^2(x)$ 误差），转而实现更紧的 $\delta\|u\|_2^2$ 边界。
• 为割稀疏化和稀疏割问题建立了下界，证实该算法在通用图查询模型中的效率近乎最优。