[论文解读] Quadratization in discrete optimization and quantum mechanics

Nike Dattani|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 63被引用 15

一句话总结

这篇开放获取的书籍全面综述了40多种将高次离散优化问题转化为二次形式的四次化方法，这对于量子退火和通用绝热量子计算至关重要。该书系统地对技术进行分类——分为零辅助变量、单一项和多项式减少——并证明任何度数为$k$的伪布尔函数均可映射为具有最少辅助变量的等价二次哈密顿量，从而可通过量子或经典求解器高效求解。

ABSTRACT

A book about turning high-degree optimization problems into quadratic optimization problems that maintain the same global minimum (ground state). This book explores quadratizations for pseudo-Boolean optimization, perturbative gadgets used in QMA completeness theorems, and also non-perturbative k-local to 2-local transformations used for quantum mechanics, quantum annealing and universal adiabatic quantum computing. The book contains ~70 different Hamiltonian transformations, each of them on a separate page, where the cost (in number of auxiliary binary variables or auxiliary qubits, or number of sub-modular terms, or in graph connectivity, etc.), pros, cons, examples, and references are given. One can therefore look up a quadratization appropriate for the specific term(s) that need to be quadratized, much like using an integral table to look up the integral that needs to be done. This book is therefore useful for writing compilers to transform general optimization problems, into a form that quantum annealing or universal adiabatic quantum computing hardware requires; or for transforming quantum chemistry problems written in the Jordan-Wigner or Bravyi-Kitaev form, into a form where all multi-qubit interactions become 2-qubit pairwise interactions, without changing the desired ground state. Applications cited include computer vision problems (e.g. image de-noising, un-blurring, etc.), number theory (e.g. integer factoring), graph theory (e.g. Ramsey number determination), and quantum chemistry. The book is open source, and anyone can make modifications here: https://github.com/HPQC-LABS/Book_About_Quadratization.

研究动机与目标

• 为适用于经典离散优化和量子计算的四次化技术提供统一的开源参考。
• 通过将高次多项式优化问题简化为更易处理的二次形式，解决求解高次多项式优化问题的挑战，使其更适合量子退火和经典求解器。
• 基于辅助变量的使用、对称性以及对正负项或多项式的适用性，对40多种四次化方法进行分类与比较。
• 为四次化方案建立下界和最优性准则，特别是针对对称函数和次线性函数。
• 通过最小化辅助变量数量并保持基态等价性，支持在量子硬件（如D-Wave）和通用量子计算中的实际实现。

提出的方法

• 将四次化方法分为五大类：零辅助变量减少、单一项减少（正项与负项）、对称多项式减少、任意函数减少以及微扰夹具。
• 采用代数技术，如格罗布纳基（Groebner bases）、精确线性化条件（ELC）和归约推导（Deduc-reduc），在不引入辅助变量的情况下消除高阶项。
• 应用基于辅助变量的减少方法，包括NTR（负项减少）和PTR（正项减少）方案，如NTR-KZFD、NTR-ABCG和PTR-BCR，将三次或更高阶项转换为二次形式。
• 引入对称函数减少（SFR）和任意函数减少（如FGBZ、成对覆盖）方法，通过共享辅助变量同时对多个项进行四次化。
• 利用微扰和非微扰夹具（如P(3→2)-DC、NP-Nagaj），通过低能子空间中的有效哈密顿量，将高阶相互作用嵌入二次哈密顿量。
• 采用从三元变量到二元变量的变换以及电路级映射，以实现在超导量子比特架构上的实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在使用最少辅助变量的前提下，对伪布尔函数中的单个负项或正项高阶项进行四次化，最有效的方法是什么？
• RQ2 对称多项式减少能否在具有多个高阶项的函数中实现最优或近似最优的辅助变量数量？
• RQ3 不同四次化方法在辅助变量数量、计算复杂度以及对量子退火硬件的适用性方面如何比较？
• RQ4 对任意函数（包括d-次线性函数和ZUC（零效用约束）函数）进行四次化时，所需辅助变量数量的理论下界是什么？
• RQ5 微扰夹具或非微扰夹具在多大程度上可以模拟通用绝热量子计算中二次哈密顿量内的高阶相互作用？

主要发现

• Deduc-Reduc和Split-Reduc方法在不引入任何辅助变量的情况下实现四次化，因此在某些函数类别中为最优方法。
• NTR-ABCG和PTR-BCR系列减少方法提供了系统化、可扩展的单个正或负三次项四次化方法，且所需辅助量子比特最少。
• 对称函数减少（SFR）和成对覆盖方法在多个项共享公共变量时显著减少了辅助变量数量，实现了近乎最优的缩放性能。
• 对SFR和d-次线性函数的下界研究表明，某些减少方法在理论上已达到最优，博罗斯（Boros）、克拉马（Crama）和罗德里格斯-赫克（Rodríguez-Heck）为特定函数类别建立了紧致下界。
• 微扰夹具如P(3→2)-DC和PSD-OT通过能级分裂，能够将立方及更高阶相互作用嵌入二次哈密顿量，从而实现通用量子计算。
• 本书证明，任何度数为$k$的函数均可映射为具有有界数量辅助变量的等价二次形式，保持基态不变，并可通过量子或经典二次求解器求解。