[论文解读] Quantum algorithms for spectral sums

Alessandro Luongo, Changpeng Shao|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 62被引用 4

一句话总结

本文提出了新的量子算法，用于估计对称正定矩阵的谱和，如对数行列式、冯·诺依曼熵、逆矩阵的迹以及施瓦茨- p 范数。通过利用量子奇异值变换和量子迹估计，这些算法在矩阵规模上实现了次线性时间复杂度，并且对条件数和误差具有多项式依赖关系，优于经典随机化方法在非零元素数量上线性增长的复杂度。

ABSTRACT

We propose new quantum algorithms for estimating spectral sums of positive semi-definite (PSD) matrices. The spectral sum of an PSD matrix $A$, for a function $f$, is defined as $ ext{Tr}[f(A)] = \sum_j f(λ_j)$, where $λ_j$ are the eigenvalues of $A$. Typical examples of spectral sums are the von Neumann entropy, the trace of $A^{-1}$, the log-determinant, and the Schatten $p$-norm, where the latter does not require the matrix to be PSD. The current best classical randomized algorithms estimating these quantities have a runtime that is at least linearly in the number of nonzero entries of the matrix and quadratic in the estimation error. Assuming access to a block-encoding of a matrix, our algorithms are sub-linear in the matrix size, and depend at most quadratically on other parameters, like the condition number and the approximation error, and thus can compete with most of the randomized and distributed classical algorithms proposed in the literature, and polynomially improve the runtime of other quantum algorithms proposed for the same problems. We show how the algorithms and techniques used in this work can be applied to three problems in spectral graph theory: approximating the number of triangles, the effective resistance, and the number of spanning trees within a graph.

研究动机与目标

• 开发高效的量子算法，用于估计对称正定矩阵的谱和，这些在经典计算环境中计算成本高昂。
• 通过利用对矩阵数据的量子访问，将运行时间对矩阵规模的依赖关系从经典方法的线性降低到量子方法的次线性。
• 实现对关键谱量（如对数行列式、逆矩阵的迹、冯·诺依曼熵和施瓦茨- p 范数）的快速估计，以应用于机器学习、统计学和计算化学。
• 通过扩展到奇异值和非 SPD 情况（如施瓦茨- p 范数），将量子算法推广至非 SPD 矩阵。
• 识别当前量子方法的局限性，例如由于负特征值导致难以估计埃斯特拉达指数，并提出未来研究方向。

提出的方法

• 算法使用量子块编码表示矩阵 A，从而通过量子奇异值变换（SVT）高效操控其谱。
• 关键子程序是量子迹估计，通过幅值估计和受控酉操作来估计矩阵函数的迹。
• 使用多项式逼近技术（如切比雪夫或泰勒展开）来逼近对特征值应用的函数，如 log(λ) 或 1/λ。
• 该框架假设对 A/μ 具有 (μ, log n, 0)-块编码，从而可高效实现 f(A) 至所需精度。
• 通过结合多项式展开的逼近误差和迹估计的估计误差，推导出误差界，从而获得相对误差保证。
• 对于逆矩阵的迹，该方法构建了 1/λ 的有理逼近的块编码，然后应用受控误差的迹估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在矩阵规模上实现对谱和（如对数行列式和冯·诺依曼熵）估计的次线性运行时间？
• RQ2 与经典随机化算法相比，该量子方法在条件数、误差容限和矩阵稀疏性方面的扩展性如何？
• RQ3 当前量子算法在估计涉及负特征值的谱和（如埃斯特拉达指数）时存在哪些局限性？
• RQ4 量子奇异值变换能否被调整以处理非 SPD 矩阵，以及处理基于特征值而非奇异值定义的函数？
• RQ5 这些量子谱和估计器在机器学习、统计学和网络分析中的实际应用有哪些？

主要发现

• 所提出的量子算法在估计逆矩阵的迹时，运行时间为 Õ(μ²κ²‖A‖/ε)，其中 μ 为缩放因子，κ 为条件数，ε 为误差容限。
• 对于对数行列式和冯·诺依曼熵等谱和，算法在矩阵规模 n 上呈多对数复杂度，在条件数和误差上呈多项式复杂度，从而在经典方法的基础上实现次线性加速。
• 通过奇异值，该框架可推广至非 SPD 矩阵，从而以相似的复杂度界估计施瓦茨- p 范数。
• 该逆矩阵迹算法以复杂度 Õ(μ²κ²‖A‖/ε) 实现相对误差 ε，优于经典方法在非零元素数量上线性增长的复杂度。
• 由于负特征值的存在，当前基于 SVT 的方法无法高效估计埃斯特拉达指数；建议采用量子信号处理或谱移位等替代方法。
• 本工作为在协方差矩阵对数行列式估计、三角形计数和图的生成树枚举等应用中构建量子子程序奠定了基础。