[论文解读] Quasi-Topological Gauged Sigma Models, The Geometric Langlands Program, And Knots

Meng-Chwan Tan|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 65被引用 3

一句话总结

本文在旗流形上构建了一个具有Cartan子群规范群的准拓扑(0,2)规范sigma模型，证明其chiral代数实现了扭曲顶点微分算子（TCDOs）。通过T对偶性，该研究为单连通、单连通复李群的几何Langlands对应关系提供了物理推导，将Hecke特征层与关联函数联系起来，并将纽结不变量与量子D-模以及Langlands对偶联系起来。

ABSTRACT

We construct and study a closed, two-dimensional, quasi-topological (0,2) gauged sigma model with target space a smooth G-manifold, where G is any compact and connected Lie group. When the target space is a flag manifold of simple G, and the gauge group is a Cartan subgroup thereof, the perturbative model describes, purely physically, the recently formulated mathematical theory of "Twisted Chiral Differential Operators". This paves the way, via a generalized T-duality, for a natural physical interpretation of the geometric Langlands correspondence for simply-connected, simple, complex Lie groups. In particular, the Hecke eigensheaves and Hecke operators can be described in terms of the correlation functions of certain operators that underlie the infinite-dimensional chiral algebra of the flag manifold model. Nevertheless, nonperturbative worldsheet twisted-instantons can, in some situations, trivialize the chiral algebra completely. This leads to a spontaneous breaking of supersymmetry whilst implying certain delicate conditions for the existence of Beilinson-Drinfeld D-modules. Via supersymmetric gauged quantum mechanics on loop space, these conditions can be understood to be intimately related to a conjecture by Hohn-Stolz [1] regarding the vanishing of the Witten genus on string manifolds with positive Ricci curvature. An interesting connection to Chern-Simons theory is also uncovered, whence we would be able to (i) relate general knot invariants of three-manifolds and Khovanov homology to "quantum" ramified D-modules and Lagrangian intersection Floer homology; (ii) furnish physical proofs of mathematical conjectures by Seidel-Smith [2] and Gaitsgory [3, 4] which relate knots to symplectic geometry and Langlands duality, respectively.

研究动机与目标

• 在具有Cartan子群规范群的G-流形上构建一个(0,2)准拓扑规范sigma模型，将数学上的扭曲顶点微分算子（TCDOs）理论在物理框架中实现。
• 通过T对偶性和chiral代数结构，为单连通、单连通复李群的几何Langlands对应关系提供物理解释。
• 将非微扰世界面瞬子与自发超对称性破缺以及Beilinson-Drinfeld D-模的存在条件联系起来。
• 通过Chern-Simons理论，将三维流形中的纽结不变量和Khovanov同调与量子分支D-模及拉格朗日子流形Floer同调联系起来。
• 为Seidel-Smith和Gaitsgory提出的关于纽结、辛几何与Langlands对偶关系的数学猜想提供物理证明。

提出的方法

• 在旗流形上构建一个非动力规范的(0,2)扭曲sigma模型，以Cartan子群作为规范群，从微扰区段推导其chiral代数。
• 将该模型的chiral代数与旗流形上的TCDO层相等同，建立该数学结构的物理实现。
• 应用广义T对偶性，将原模型的chiral代数与Langlands对偶群的chiral代数联系起来，映射W代数和临界水平的仿射Kac-Moody代数。
• 分析该模型的无限体积极限，以恢复Chern-Simons理论，将关联函数与纽结不变量及量子群表示联系起来。
• 利用环空间上的超对称规范量子力学，将非微扰瞬子效应解释为chiral代数结构的障碍，将其与Witten亏格消失猜想联系起来。
• 将chiral算符的关联函数与Hecke特征层及Hecke修正联系起来，表明T对偶性将几何Langlands对应关系映射为经典极限（c → 0）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过(0,2)准拓扑规范sigma模型在物理框架中实现数学上的扭曲顶点微分算子（TCDOs）结构？
• RQ2 T对偶性在将模型的chiral代数与单连通、单连通复李群的几何Langlands对应关系联系起来时起什么作用？
• RQ3 非微扰世界面扭曲瞬子如何影响chiral代数？其对Beilinson-Drinfeld D-模存在性意味着什么？
• RQ4 能否通过模型的关联函数和Chern-Simons理论，对三维流形中的纽结不变量和Khovanov同调进行物理解释？
• RQ5 该模型是否为Gaitsgory的猜想提供了物理证明，即几何Langlands对应关系的经典极限（c → 0）对应于Langlands对偶群的表示？

主要发现

• 在具有Cartan子群规范群的旗流形上，(0,2)规范sigma模型的微扰chiral代数同构于旗流形上的扭曲顶点微分算子（TCDOs）层。
• T对偶性将该模型的chiral代数映射到Langlands对偶群的chiral代数，将几何Langlands对应关系实现为chiral代数与关联函数之间的对偶性。
• 在R → 0极限下，该模型的关联函数对应于全纯丛模空间上的经典分支D-模，从而确立了经典几何Langlands对应关系。
• 非微扰世界面扭曲瞬子可使chiral代数退化，导致自发超对称性破缺，并对Beilinson-Drinfeld D-模的存在施加精细条件。
• 该模型将三维流形的纽结不变量与量子分支D-模及拉格朗日子流形交点Floer同调联系起来，关联函数通过Uq(LgC)实现量子群表示。
• 本文为Gaitsgory的猜想提供了物理证明：即几何Langlands对应关系的经典极限（c → 0）对应于Langlands对偶群LGC的表示。