[论文解读] Quasistatic crack growth in finite elasticity

Gianni Dal Maso, Gilles A. Francfort+1 more|ArXiv.org|Jan 16, 2004

Composite Material MechanicsEngineering参考文献 23被引用 16

一句话总结

本文通过基于能量最小化的变分模型，在n维有限弹性中建立了准静态裂纹扩展的存在性，其中裂纹路径自然地由能量平衡决定。关键贡献是在任意 n ≥ 1 和一般非均质、各向异性材料下，对具有时变边界条件和拟凸体能的最小能量构型的不可逆演化，给出了严格的存 在性结果。

ABSTRACT

In this paper, we prove a new existence result for a variational model of crack growth in brittle materials proposed in [15]. We consider the case of $n$-dimensional finite elasticity, for an arbitrary $n\ge1$, with a quasiconvex bulk energy and with prescribed boundary deformations and applied loads, both depending on time.

研究动机与目标

• 建立脆性材料中由能量平衡控制的准静态裂纹扩展的严格数学框架。
• 将裂纹扩展的变分模型扩展至具有通用拟凸体能的n维有限弹性。
• 在时变边界条件和外加载荷下，证明最小能量构型不可逆准静态演化的存在性。
• 通过允许裂纹表面能密度依赖于位置和法向方向，处理一般非均质和各向异性材料。
• 在GSBV空间中构建合适的函数分析框架，以容纳具有包含于演化裂纹中的跳跃集的不连续变形。

提出的方法

• 在广义有界变差函数空间（GSBV）中表述问题，以建模在余维一集合上具有不连续性的变形。
• 将总能量定义为弹性能、裂纹表面能与外加载荷所做负功之和，其中裂纹表面能通过在裂纹上对具有各向异性和非均质性密度κ的积分给出。
• 利用存储能函数W(x,ξ)的拟凸性，确保弹性能泛函的下半连续性。
• 通过满足特定正则性和增长条件的保守力，以功泛函F(t,x,u)和G(t,x,u)来建模时变边界条件和外加载荷。
• 将容许构型定义为对偶对(u, Γ)，其中u的跳跃集S(u) ⊆ Γ，且在∂DΩ \ Γ上满足时变Dirichlet迹。
• 将最小能量构型定义为在所有更大裂纹和相容变形中使总能量最小的构型，通过Griffith准则确保能量平衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有通用拟凸能和时变载荷的n维有限弹性中，严格建立准静态裂纹扩展的变分模型？
• RQ2 如何通过能量最小化内在地确定裂纹路径，而无需预先指定？
• RQ3 适用于有限弹性中不连续变形和演化裂纹的合适函数分析框架是什么？
• RQ4 在能量密度和外加载荷满足何种条件下，最小能量构型的不可逆准静态演化存在？
• RQ5 如何通过位置和取向相关的裂纹表面能，使模型能够容纳非均质和各向异性材料？

主要发现

• 本文证明了在任意n ≥ 1维有限弹性中，最小能量构型的不可逆准静态演化存在。
• 该存在性结果在一般假设下成立：体能W(x,ξ)的拟凸性，以及外加载荷和裂纹表面能κ的合适增长与正则性条件。
• 裂纹路径并非预先指定，而是作为解的一部分随时间演化，裂纹集Γ(t)为具有有限(n−1)维Hausdorff测度的可求长集。
• 通过裂纹表面能泛函依赖于位置x和法向νΓ(x)，该模型可容纳非均质和各向异性材料。
• 在GSBV(Ω;ℝⁿ)中的函数设定确保了变形几乎处处有定义，且跳跃集包含于演化裂纹内。
• 该存在性结果对时变边界条件以及保守体力和表面力具有鲁棒性，载荷所做功通过在区域和边界上的积分建模，且具有适当的正则性。