[论文解读] Rényi Entropy for a $\bf 2d$ CFT with a gauge field: $\bf \widehat{ m SU}(N)_1$ WZW theory on a branched torus

Howard J. Schnitzer|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 56被引用 4

一句话总结

本文通过在$\widehat{\rm SU}(N)_1$ Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型中引入$U(1)$规范场约束的费米子表示，计算了在$n$-叶分支环面上的Rényi熵。通过将希尔伯特空间扩展至$\widehat{\rm U}(N)_1$并利用$U(1)$约束进行投影，作者分离出规范场的调和分量，其贡献为具有扭结边界条件的费米子行列式。关键结果是一个包含Riemann-Siegel theta函数的Rényi熵表达式，该表达式与玻色子形式一致，通过Bose-Fermi对偶性得到验证。

ABSTRACT

The Rényi entropy for the $\widehat{ m SU}(N)_1$ WZW model as described by $N$ free fermions coupled to a $U(1)$ constraint field is computed on an $n$-sheeted branched torus. The boundary condition of the harmonic component of the gauge field on the homology cycles of the genus $g$ Riemann surface is central to the final result. This calculation is complementary to that of arXiv:$1510.05993$, which presents the bose side of the bose-fermi equivalence.

研究动机与目标

• 在分支环面上，计算带有$U(1)$规范场的$\widehat{\rm SU}(N)_1$ WZW模型的Rényi熵。
• 通过将$\widehat{\rm SU}(N)_1$模型的费米子表示为$\widehat{\rm U}(N)_1 / \rm U(1)$，测试扩展希尔伯特空间方法在规范场论中的适用性，特别是针对具有非局部高斯定律约束的连续规范场论。
• 分离规范场调和分量在Rényi熵中的作用，特别关注其通过扭结边界条件的贡献。
• 通过在$n$-叶黎曼曲面上应用复制技巧，利用Bose-Fermi等价性，确认该理论的费米子形式与玻色子形式的一致性。

提出的方法

• 使用复制技巧，通过在$n$-叶分支环面$\mathcal{R}_{n,1}$上的路径积分计算Rényi熵。
• 将$\widehat{\rm SU}(N)_1$理论表示为$N$个与$U(1)$规范场耦合的自由费米子，并将希尔伯特空间扩展至$\widehat{\rm U}(N)_1$。
• 对规范场应用Hodge分解，将其分离为恰当部分、共恰当部分与调和部分。
• 将恰当部分与共恰当部分视为标量场，以标准方式贡献于路径积分。
• 将调和部分计算为具有扭结边界条件的费米子行列式，源于规范场零模。
• 利用Riemann-Siegel theta函数编码零模贡献，确保同调圈上无净$U(1)$电荷。

实验结果

研究问题

• RQ1 在二维CFT如$\widehat{\rm SU}(N)_1$中，$U(1)$规范场的存在如何影响Rényi熵？
• RQ2 扩展希尔伯特空间方法是否可成功应用于具有非局部高斯定律约束的连续规范场论？
• RQ3 在扭结边界条件的背景下，规范场的调和分量在Rényi熵中起什么作用？
• RQ4 $\widehat{\rm SU}(N)_1$的费米子形式是否与玻色子形式给出相同的Rényi熵？这一结果如何被确认？
• RQ5 为何在$n \to 1$极限下，调和部分的贡献存在问题？这对纠缠熵的计算有何影响？

主要发现

• 在分支环面上，通过费米子表示与$U(1)$规范场约束，计算了$\widehat{\rm SU}(N)_1$的Rényi熵，结果与玻色子形式一致。
• 规范场的调和分量贡献了一个具有扭结边界条件的费米子行列式，该贡献至关重要且在$n$中非解析。
• 最终的路径积分包含一个Riemann-Siegel theta函数$|\Theta(0|i\Omega)|^2$，用于编码零模贡献，并确保同调圈上无净$U(1)$电荷。
• 该结果与玻色子形式的路径积分（arXiv:1510.05993的式(4.32)）一致，确认了在Rényi熵语境下的Bose-Fermi对偶性。
• 规范场的恰当部分与共恰当部分如同标量场一般贡献，且在$n \to 1$时可解析延拓；而调和部分不可延拓，解释了$n \to 1$极限下的非解析性。
• 该计算表明，当存在Bose-Fermi对偶性以交叉验证时，扩展希尔伯特空间方法在连续规范场论中是可行的。