[论文解读] Random ordering formula for sofic and Rokhlin entropy of Gibbs measures

Andrei Alpeev|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 18被引用 5

一句话总结

本论文在多勃鲁什金唯一性条件或吉布斯测度唯一且吸引的条件下，为由吉布斯测度导出的移位作用的索菲克熵与罗赫林熵建立了显式公式。通过随机排序技术与塞沃尔对罗赫林熵的上界估计，作者证明了索菲克熵与索菲克逼近无关，且等于由条件熵期望 $\mathbb{E}_{\xi}H(\alpha|\alpha^{L_{\xi}})$ 给出的罗赫林熵。该结果适用于超临界伊辛模型等模型，并通过 $f$-不变量提供了吉布斯测度唯一性的判据。

ABSTRACT

We prove the explicit formula for sofic and Rokhlin entropy of actions arising from some class of Gibbs measures. It provides a new set of examples with sofic entropy independent of sofic approximations. It is particularilly interresting, since in non-amenable case Rokhlin entropy was computed only in case of Bernoulli actions and for some examples with zero Rokhlin entropy. As an example we show that our formula holds for the supercritical Ising model. We also establish a criterion for uniqueness of Gibbs measure by means of f-invariant.

研究动机与目标

• 建立与索菲克逼近无关的吉布斯测度作用的索菲克熵与罗赫林熵的通用公式。
• 将可计算熵的系统类别扩展至伯努利移位与零熵例子之外。
• 通过 $f$-不变量提供吉布斯测度唯一性的判据。
• 以超临界伊辛模型为例，验证公式的有效性。
• 通过随机排序技术与塞沃尔的上界估计，统一索菲克熵与罗赫林熵的计算方法。

提出的方法

• 借鉴 [BCKL13] 的随机排序技术，分析索菲克逼近上吉布斯测度的熵。
• 应用塞沃尔对罗赫林熵的上界估计：$\mathbb{E}_{\xi}H(\alpha|\alpha^{L_{\xi}})$，作为关键比较工具。
• 利用多勃鲁什金唯一性条件或吉布斯结构的吸引性，确保测度唯一性与熵的稳定性。
• 利用吉布斯测度的马尔可夫性质，分解条件熵，并将其与 $f$-不变量框架关联。
• 通过有限维投影在弱-* 拓扑下的收敛性，近似无限维吉布斯测度的熵。
• 证明通过随机排序得到的索菲克熵下界与罗赫林熵的上界一致，从而推出二者相等且与索菲克逼近无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，吉布斯测度作用的索菲克熵可与索菲克逼近的选择无关？
• RQ2 吉布斯测度作用的罗赫林熵是否与索菲克熵一致？能否通过显式公式计算？
• RQ3 势函数需满足何种条件，才能保证吉布斯测度唯一，且熵有定义且可计算？
• RQ4 $f$-不变量如何与非阿贝尔群作用下吉布斯测度的唯一性相关联？
• RQ5 随机排序方法能否用于推导出与罗赫林熵上界匹配的索菲克熵下界？

主要发现

• 当吉布斯结构满足多勃鲁什金唯一性条件时，吉布斯测度作用的索菲克熵与索菲克逼近无关。
• 此类作用的罗赫林熵等于索菲克熵，且由显式公式 $\mathbb{E}_{\xi}H(\alpha|\alpha^{L_{\xi}})$ 给出。
• 在超临界伊辛模型中，该公式成立，证实了在非伯努利、非零熵情形下熵的可计算性。
• $f$-不变量提供了吉布斯测度唯一性的判据：若 $f$-不变量有定义且与熵匹配，则测度唯一。
• 通过随机排序导出的索菲克熵下界与罗赫林熵上界一致，证明了二者相等，并在所有逼近下保持稳定。
• 该结果首次建立了非阿贝尔群作用下非平凡的、可计算且逼近无关的熵类，超越了伯努利移位的情形。