[论文解读] Reading between the rational sections: Global structures of 4d $\mathcal{N}=2$ KK theories

Cyril Closset, Horia Magureanu|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2023

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 90被引用 4

一句话总结

本文建立了4d $N=2$ 超对称场论的全局结构与Seiberg-Witten椭圆纤维化中Mordell-Weil群的挠子群之间的几何对应关系。它区分了相对与绝对的Seiberg-Witten曲线，表明规范化$1$-形式对称性对应于由挠截面生成的同态的复合，并将此框架应用于分类来自5d和6d SCFT的秩一$N=2$ KK理论中的全局结构，包括$T^2$上的M-弦理论。其关键贡献是通过椭圆曲线同态系统地几何编码缺陷群和$1$-形式对称性。

ABSTRACT

We study how the global structure of rank-one 4d $\mathcal{N}=2$ supersymmetric field theories is encoded into global aspects of the Seiberg-Witten elliptic fibration. Starting with the prototypical example of the $\mathfrak{su}(2)$ gauge theory, we distinguish between relative and absolute Seiberg-Witten curves. For instance, we discuss in detail the three distinct absolute curves for the $SU(2)$ and $SO(3)_\pm$ 4d $\mathcal{N}=2$ gauge theories. We propose that the $1$-form symmetry of an absolute theory is isomorphic to a torsion subgroup of the Mordell-Weil group of sections of the absolute curve, while the full defect group of the theory is encoded in the torsion sections of a so-called relative curve. We explicitly show that the relative and absolute curves are related by isogenies (that is, homomorphisms of elliptic curves) generated by torsion sections -- hence, gauging a one-form symmetry corresponds to composing isogenies between Seiberg-Witten curves. We apply this approach to Kaluza-Klein (KK) 4d $\mathcal{N}=2$ theories that arise from toroidal compactifications of 5d and 6d SCFTs to four dimensions, uncovering an intricate pattern of 4d global structures obtained by gauging discrete $0$-form and/or $1$-form symmetries. Incidentally, we propose a 6d BPS quiver for the 6d M-string theory on $\mathbb{R}^4 imes T^2$.

研究动机与目标

• 澄清秩一4d $ N=2$ SQFT的全局结构——特别是$SU(2)$、$SO(3)_{/pm}$等规范群的选择——如何在Seiberg-Witten几何中编码。
• 区分相对与绝对的Seiberg-Witten曲线，其中前者描述李代数动力学，后者编码完整的全局规范群。
• 建立绝对Seiberg-Witten曲线的Mordell-Weil群的挠子群与$1$-形式对称性之间的几何对应关系。
• 将此框架应用于5d和6d SCFT的Kaluza-Klein紧化，揭示由$0$-形式和$1$-形式对称性的离散规范化所引发的全局结构模式。
• 基于同一几何框架，为$ mathbb{R}^4 \times T^2$上的M-弦理论提出一个6d BPS夸克图。

提出的方法

• 区分相对与绝对的Seiberg-Witten曲线：相对曲线描述李代数动力学，而绝对曲线编码完整的全局规范群。
• 将绝对理论的$1$-形式对称性识别为与绝对Seiberg-Witten曲线的Mordell-Weil群的挠子群同构。
• 使用同态——由挠截面生成的椭圆曲线之间的同态——来建模规范化$1$-形式对称性的过程。
• 将此框架应用于5d $E_1[\mathfrak{su}(2)]$ 和6d $E_0$理论的KK紧化，通过模群和奇点类型分析其结果的全局结构。
• 将理论的缺陷群与相对Seiberg-Witten曲线的挠截面联系起来，其中$ mathfrak{su}(2)$理论的缺陷群为$\mathbb{D} = \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$。
• 使用模形式和$ mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$的同余子群来分类曲线及其相关对称性的模性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 4d $ N=2$ SQFT的全局结构——区分$SU(2)$与$SO(3)_{\pm}$——如何在Seiberg-Witten几何中编码？
• RQ2 相对与绝对Seiberg-Witten曲线之间的确切几何关系是什么？它们之间的同态如何对应于$1$-形式对称性的规范化？
• RQ3 绝对曲线的Mordell-Weil群的挠截面如何实现理论的$1$-形式对称性？
• RQ4 在圆或环面上紧化5d和6d SCFT时，会涌现出哪些全局结构？它们如何通过Seiberg-Witten几何分类？
• RQ5 能否为$T^2$上的M-弦理论构造一个6d BPS夸克图？它与结果4d理论的全局结构有何关联？

主要发现

• 绝对$ mathcal{N}=2$理论的$1$-形式对称性同构于其绝对Seiberg-Witten曲线的Mordell-Weil群的挠子群。
• $ mathfrak{su}(2)$理论的缺陷群$\mathbb{D} = \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$编码于相对Seiberg-Witten曲线的挠截面中。
• 规范化$1$-形式对称性对应于Seiberg-Witten曲线之间同态的复合，其中同态由挠截面生成。
• $ mathfrak{su}(2)$理论的三个不同绝对曲线分别对应$SU(2)$、$SO(3)_{+}$和$SO(3)_{-}$，其$1$-形式对称性分别为$\mathbb{Z}_2$、$\mathbb{Z}_2$和$\mathbb{Z}_4$。
• 在$S^1$上紧化5d $E_1[\mathfrak{su}(2)]$理论时，所得的$ mathcal{N}=2$ KK理论的全局结构由离散规范化分类，其模群为$\Gamma(2)$、$\Gamma_0(4)$和$\Gamma(4)$。
• $T^2$上的M-弦理论允许一个6d BPS夸克图的提议，其4d全局结构由绝对Seiberg-Witten曲线的挠结构决定，其中$ mathbb{Z}_3^{[0]}$规范化导致$V$-平面上的$ mathbb{Z}_3$轨道点。