[论文解读] Refined Chern-Simons Theory and Topological String

Mina Aganagic, Shamil Shakirov|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 38被引用 54

一句话总结

该论文通过 $S^3$ 上的精化 Chern-Simons 理论与大 $N$ 对偶性，为任意 toric Calabi-Yau 流形建立了精化拓扑顶点形式体系。它通过类似 quiver 的 Chern-Simons 理论推导出局部 $\mathbb{P}^2$ 上的精化拓扑弦划分函数，表明精化顶点源于带有 Morse 流依赖性的 toric 图的对偶分解，并通过 Macdonald 与 Schur 多项式展开证明了 Iqbal-Kozcaz-Vafa 顶点与 CIV-AK 顶点之间的等价性。

ABSTRACT

We show that refined Chern-Simons theory and large N duality can be used to study the refined topological string with and without branes. We derive the refined topological vertex of hep-th/0701156 and hep-th/0502061 from a link invariant of the refined SU(N) Chern-Simons theory on S^3, at infinite N. Quiver-like Chern-Simons theories, arising from Calabi-Yau manifolds with branes wrapped on several minimal S^3's, give a dual description of a large class of toric Calabi-Yau. We use this to derive the refined topological string amplitudes on a toric Calabi-Yau containing a shrinking P^2 surface. The result is suggestive of the refined topological vertex formalism for arbitrary toric Calabi-Yau manifolds in terms of a pair of vertices and a choice of a Morse flow on the toric graph, determining the vertex decomposition. The dependence on the flow is reminiscent of the approach to the refined topological string in upcoming work of Nekrasov and Okounkov. As a byproduct, we show that large N duality of the refined topological string explains the ``mirror symmetry`` of the refined colored HOMFLY invariants of knots.

研究动机与目标

• 将拓扑顶点形式体系推广至任意 toric Calabi-Yau 流形上的精化拓扑弦理论，包括标准类之外的流形（如局部 $\mathbb{P}^2$）
• 通过类似 quiver 的 Chern-Simons 理论与大 $N$ 对偶性，推导局部 $\mathbb{P}^2$ 上的精化拓扑弦划分函数
• 基于 toric 图上的 Morse 流与一对顶点，建立精化拓扑顶点的一般性框架
• 证明通过精化 Chern-Simons 链不变量计算的精化拓扑弦振幅与精化彩色 HOMFLY 不变量一致，从而解释其镜像对称性

提出的方法

• 从 $S^3$ 上精化 $SU(N)$ Chern-Simons 理论的大 $N$ 极限推导精化拓扑顶点，利用链不变量与精化拓扑弦振幅之间的对应关系
• 将大 $N$ 对偶性应用于具有多个 $S^3$ 组分的类似 quiver 的 Chern-Simons 理论，其中每个节点对应于一个 M5-膜在 3-球面或其轨道上的缠绕
• 使用精化 Ooguri-Vafa 算符，将精化拓扑弦振幅转化为精化 Chern-Simons 理论的纽结不变量
• 通过将多个 $S^3$ 收缩并生成 $\mathbb{P}^1$ 的几何过渡，构建局部 $\mathbb{P}^2$ 上的精化拓扑弦划分函数
• 通过精化全纯块的展开，以 Macdonald 与 Schur 多项式两种基底表达精化顶点振幅
• 通过证明两者均源于同一基本振幅的不同展开方式，建立 CIV-AK 顶点与 Iqbal-Kozcaz-Vafa 顶点之间的等价性

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将精化拓扑顶点形式体系推广至标准类之外的任意 toric Calabi-Yau 流形？
• RQ2 Morse 流在 toric 图上的作用如何决定精化拓扑弦的顶点分解？
• RQ3 精化 Chern-Simons 理论中的大 $N$ 对偶性如何再现局部 $\mathbb{P}^2$ 上的精化拓扑弦划分函数？
• RQ4 CIV-AK 顶点与 Iqbal-Kozcaz-Vafa 顶点在精化拓扑弦理论中的数学关系是什么？
• RQ5 精化拓扑弦如何解释精化彩色 HOMFLY 不变量的镜像对称性？

主要发现

• 通过大 $N$ 对偶性，从具有多个 $S^3$ 组分的类似 quiver 的 $S^3$ 上的精化 Chern-Simons 理论，推导出局部 $\mathbb{P}^2$ 上的精化拓扑弦划分函数
• 对于任意 toric Calabi-Yau 流形，精化拓扑顶点被建议依赖于一对顶点与 toric 图上 Morse 流的选择，其中流决定了顶点分解
• 通过基变换证明 CIV-AK 顶点与 Iqbal-Kozcaz-Vafa 顶点等价：前者使用 Macdonald 多项式，后者使用 Schur 多项式，二者均展开同一基本振幅
• 精化 Ooguri-Vafa 算符被推导为将精化拓扑弦振幅映射至精化 Chern-Simons 链不变量的关键工具
• 局部 $\mathbb{P}^2$ 上的精化拓扑弦划分函数具有顶点分解，其形式将标准拓扑顶点形式体系推广至非标准的 toric 几何
• 精化彩色 HOMFLY 不变量的镜像对称性由精化拓扑弦中的大 $N$ 对偶性解释，将纽结不变量与 $\Omega$-背景下的 M-理论划分函数联系起来