[论文解读] Robust Fundamental Theorem for Continuous Processes
本文在模型不确定性下，为连续时间金融市场的资产定价建立了稳健的基本定理，其中价格动态由一族概率测度描述。它引入了第一类无套利条件（NA₁(𝒫)），并证明该条件成立当且仅当𝒫中的每个测度在随机寿命τ之前均存在等价局部鞅测度，从而实现了超对冲价格与这类测度下期望之间的对偶性。
We study a continuous-time financial market with continuous price processes under model uncertainty, modeled via a family $\mathcal{P}$ of possible physical measures. A robust notion ${ m NA}_{1}(\mathcal{P})$ of no-arbitrage of the first kind is introduced; it postulates that a nonnegative, nonvanishing claim cannot be superhedged for free by using simple trading strategies. Our first main result is a version of the fundamental theorem of asset pricing: ${ m NA}_{1}(\mathcal{P})$ holds if and only if every $P\in\mathcal{P}$ admits a martingale measure which is equivalent up to a certain lifetime. The second main result provides the existence of optimal superhedging strategies for general contingent claims and a representation of the superhedging price in terms of martingale measures.
研究动机与目标
- 在真实资产价格分布未知的连续时间市场中，定义一种稳健的无套利概念，该概念适用于模型不确定性环境。
- 将经典的资产定价基本定理推广至一族物理测度𝒫的设定，而非单一概率测度。
- 即使基础过程不是半鞅，也建立超对冲价格与等价局部鞅测度下期望之间的对偶关系。
- 提供最优超对冲策略存在并可通过连续交易构造的条件。
- 构建一个带有随机寿命τ的路径空间框架，以处理在模型不确定性下的等价性与鞅性质。
提出的方法
- 在连续有右极限路径的典范空间Ω上建模市场，其中路径在随机寿命τ ∈ (0, ∞]后被吸收至一个墓地状态。
- 将稳健的无套利条件NA₁(𝒫)定义为：在所有P ∈ 𝒫下，非负且不恒为零的头寸不能以零初始成本被超对冲。
- 引入τ前的等价性概念：若两测度P与Q在τ之前对极零集一致，则称其在τ前等价。
- 在路径空间上使用Skorokhod拓扑，并通过结合寿命与路径距离的度量，构造Ω上的波兰拓扑。
- 应用可测选择方法与局部化技术，证明最优超对冲策略的存在性。
- 建立超对冲对偶性：最小超对冲成本等于所有满足Q ≈ P（在τ前等价）的Q ∈ ℚ下E^Q[f 1_{τ > T}]的上确界。
实验结果
研究问题
- RQ1在具有模型不确定性的连续时间市场中，第一类无套利（NA₁(𝒫)）在何种条件下成立？
- RQ2如何将经典的资产定价基本定理推广至一族物理测度𝒫的设定？
- RQ3在随机寿命τ前存在等价局部鞅测度与稳健无套利条件NA₁(𝒫)之间的确切关系为何？
- RQ4在模型不确定性下，能否为一般或有证券构造最优超对冲策略？
- RQ5当等价性仅在随机时间τ前成立时，超对冲价格与一族局部鞅测度下期望之间的关系如何？
主要发现
- NA₁(𝒫)成立当且仅当对每个P ∈ 𝒫，存在一个局部鞅测度Q，使得Q与P在随机寿命τ前等价。
- 非负或有证券f的超对冲价格等于所有满足Q ≈ P（在τ前等价）的Q ∈ ℚ下E^Q[f 1_{τ > T}]的上确界。
- 即使价格过程S不是半鞅，最优超对冲策略也存在，并可通过连续交易构造。
- 路径空间Ω在该拓扑下为波兰空间，此时自然过程为渐进可测，且σ代数ℱ与博雷尔σ代数一致。
- 在任一Q ∈ ℚ下，随机寿命τ均为可预测的，这确保了局部鞅的局部化序列存在。
- 在Ω上构造度量δ_Ω的过程确保了与ℙ × (0, ∞]之间的等距同构，保持了可测性，并支持可测选择论证。
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