[论文解读] Scale Invariance, Conformality, and Generalized Free Fields

Anatoly Dymarsky, Kara Farnsworth+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 21被引用 13

一句话总结

本文通过排除能量-动量张量的迹 $T^\mu{}_{\mu}$ 为广义自由场的可能性，解决了关于标度不变的四维量子场论必须是共形场论的论证中的一个关键漏洞。它表明，除非存在一个维度为2的标量算符，否则此类张量无法解释标度异常；而当该标量算符存在时，可构造一个非广义自由场的改进能量-动量张量——从而在幺正性和洛伦兹不变性下排除了四维非共形的标度不变场论的存在性。

ABSTRACT

This paper addresses the question of whether there are 4D Lorentz invariant unitary quantum field theories with scale invariance but not conformal invariance. An important loophole in the arguments of Luty-Polchinski-Rattazzi and Dymarsky-Komargodski-Schwimmer-Theisen is that trace of the energy-momentum tensor $T$ could be a generalized free field. In this paper we rule out this possibility. The key ingredient is the observation that a unitary theory with scale but not conformal invariance necessarily has a non-vanishing anomaly for global scale transformations. We show that this anomaly cannot be reproduced if $T$ is a generalized free field unless the theory also contains a dimension-2 scalar operator. In the special case where such an operator is present it can be used to redefine ("improve") the energy-momentum tensor, and we show that there is at least one energy-momentum tensor that is not a generalized free field. In addition, we emphasize that, in general, large momentum limits of correlation functions cannot be understood from the leading terms of the coordinate space OPE. This invalidates a recent argument by Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP). Despite the invalidity of the general argument of FLP, some of the techniques turn out to be useful in the present context.

研究动机与目标

• 解决现有关于四维非共形但标度不变量子场论论证中的一个关键漏洞。
• 检验能量-动量张量的迹 $T^\mu{}_{\mu}$ 是否可能为广义自由场，这一可能性可能绕过先前的共形性定理。
• 证明此类广义自由场无法在无维度2标量算符的情况下再现标度异常。
• 证明当此类算符存在时，可构造一个非广义自由场的改进能量-动量张量。
• 否定Farnsworth-Luty-Prilepina（FLP）关于相关函数大动量极限的近期论证。

提出的方法

• 通过有效作用量 $W[g_{\mu\nu}]$ 对经威利变换的度规 $g_{\mu\nu} = \Omega^2 \eta_{\mu\nu}$ 取功能导数，利用连通振幅 $A_n(x_1,\ldots,x_n)$ 的定义，本文构造了 $T^\mu{}_{\mu}$ 在重合点与分离点处的相关函数。
• 通过傅里叶变换引入动量空间振幅 $\tilde{A}_n(p_1,\ldots,p_n)$，分析了与 $T^\mu{}_{\mu}$ 耦合的标量场的散射振幅，特别关注 $p_i^2 = 0$ 的壳上动力学。
• 利用幺正性，本文证明在 $p_i^2 = 0$ 时，矩阵元 $\langle \Psi | \tilde{T}(p_1) \cdots \tilde{T}(p_n) | 0 \rangle = 0$，从而对 $T^\mu{}_{\mu}$ 的结构施加了关键约束。
• 对标度异常的分析表明，广义自由场无法再现异常，除非存在一个维度为2的标量算符 $L$。
• 通过构造改进的能量-动量张量 $T'^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \frac{1}{3}(\partial^\mu \partial^\nu - \eta^{\mu\nu} \Box)L$，本文证明当 $L$ 存在时，该张量并非广义自由场。
• 本文重新审视了Farnsworth-Luty-Prilepina（FLP）关于相关函数大动量极限的论证，表明其因对OPE行为的错误假设而失效，尽管部分FLP技术被重新利用以发挥有益作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在四维幺正标度不变量子场论中，能量-动量张量的迹 $T^\mu{}_{\mu}$ 是否可能为广义自由场？
• RQ2 若 $T^\mu{}_{\mu}$ 为广义自由场，它能否再现理论的标度异常？
• RQ3 维度为2的标量算符的存在是否允许对 $T^{\mu\nu}$ 进行改进，使得改进后的张量不再是广义自由场？
• RQ4 Farnsworth-Luty-Prilepina（FLP）关于相关函数大动量极限的论证在非共形但标度不变的理论背景下是否成立？
• RQ5 能否构造一个四维幺正洛伦兹不变的量子场论，使其标度不变但非共形？

主要发现

• 能量-动量张量的迹 $T^\mu{}_{\mu}$ 不能是广义自由场，除非理论中存在一个维度为2的标量算符。
• 当此类维度为2的标量算符 $L$ 存在时，可构造一个非广义自由场的改进能量-动量张量 $T'^{\mu\nu}$。
• 标度异常无法由广义自由场 $T^\mu{}_{\mu}$ 再现，除非存在一个维度为2的标量算符。
• Farnsworth-Luty-Prilepina（FLP）关于相关函数大动量极限的论证被否定，因其错误地假设主导OPE项决定了大动量行为。
• 本文证明了在 $p_i^2 = 0$ 时，矩阵元 $\langle \Psi | \tilde{T}(p_1) \cdots \tilde{T}(p_n) | 0 \rangle = 0$，这是非共形标度不变理论的关键约束。
• 显式计算表明，由三点函数 $\langle \mathcal{O}(x_1)\mathcal{O}(x_2)\mathcal{O}(x_3)\rangle \propto 1/(x_{12}^4 x_{23}^4 x_{31}^4)$ 导出的异常多项式能正确再现标量场三点头函数中的标度异常。