[论文解读] SDEs with critical time dependent drifts: weak solutions

Michael Röckner, Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 45被引用 8

一句话总结

本文建立了带加性噪声和临界勒贝格空间中漂移项 $L^q([0,T];L^p(\mathbb{R}^d))$ 的时变非齐次 SDE 的唯一弱可解性，其中满足 $d/p + 2/q = 1$，解决了长期悬而未决的边界情况 $(p,q) = (d,\infty)$ 的问题。证明依赖于通过德·乔治类型迭代和最大 $L^p$-估计，在二阶索伯列夫空间中求解关联的柯尔莫哥洛夫后向方程。

ABSTRACT

We prove the unique weak solvability of time-inhomogeneous stochastic differential equations with additive noises and drifts in critical Lebsgue space $L^q([0,T]; L^{p}(\mathbb{R}^d))$ with $d/p+2/q=1$. The weak uniqueness is obtained by solving corresponding Kolmogorov's backward equations in some second order Sobolev spaces, which is analytically interesting in itself.

研究动机与目标

• 解决在临界利亚任茨卡娅-普罗迪-塞林情形 $d/p + 2/q = 1$ 下 SDE 的唯一弱可解性这一开放问题，特别是端点情况 $(p,q) = (d,\infty)$。
• 通过在二阶索伯列夫空间中求解相应的柯尔莫哥洛夫后向方程，建立弱唯一性，该方法在分析上具有新颖性和非平凡性。
• 将现有关于奇异漂移项 SDE 的结果从亚临界情形扩展至临界和超临界情形。
• 弥合文献中的空白：强解仅在更严格的可积性条件下（如 Lorentz 空间或小量假设）已知。

提出的方法

• 作者使用德·乔治的迭代方法，为二阶索伯列夫空间中柯尔莫哥洛夫后向方程的解导出先验估计。
• 他们应用最大 $L^p$-估计和插值技术，控制临界勒贝格空间 $\widetilde{\mathbb{L}}^{p_1}_{q_1}(T)$ 中的漂移项。
• 通过有界截断 $b^N_1$ 近似漂移 $b$，采用截断论证，确保在临界范数下收敛。
• 证明依赖于对柯尔莫哥洛夫方程使用截断函数 $\eta_x$ 进行测试，并推导涉及 $u_k = (u - k)^+$ 的能量型不等式。
• 关键步骤是将漂移项分解为三部分：$b_0$、$b - b^N_1$ 和 $b^N_1$，每部分分别通过不同估计处理，包括 Lorentz 空间界和赫尔德不等式。
• 最终通过结合能量项、梯度项和低阶项，获得 $V(t)$-范数下的统一有界性，从而推出所需的可积性和紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $b \in L^q([0,T];L^p(\mathbb{R}^d))$ 且满足 $d/p + 2/q = 1$ 时，SDE $\mathrm{d}X_t = b(t,X_t)\mathrm{d}t + \sqrt{2}\mathrm{d}W_t$ 是否存在唯一弱解，包括端点情况 $(p,q) = (d,\infty)$？
• RQ2 在临界可积性条件下，是否可通过在二阶索伯列夫空间中求解关联的柯尔莫哥洛夫后向方程来建立弱唯一性？
• RQ3 是否可能将亚临界情形下强解的已知结果扩展至临界情形，而无需小量假设或 Lorentz 型范数？
• RQ4 德·乔治类型迭代技术如何被调整以处理柯尔莫哥洛夫方程中临界时间依赖漂移项的情形？

主要发现

• 本文证明了当漂移项属于 $L^q([0,T];L^p(\mathbb{R}^d))$ 且满足 $d/p + 2/q = 1$ 时，SDE 的唯一弱可解性，包括临界情形 $(p,q) = (d,\infty)$。
• 通过在二阶索伯列夫空间中求解柯尔莫哥洛夫后向方程，建立了弱唯一性，这是分析上的新颖贡献。
• 解通过将德·乔治迭代方法应用于后向方程构造，得到在临界可积性下解的 $L^\infty$-界。
• 该方法导出如下形式的统一有界性估计：$\|u_k \eta_x\|_{V(t)} \leq C(\|u_k\|_{{\mathbb{L}}^2_2(Q(t,x))} + \|f\|_{\widetilde{\mathbb{L}}^{p_3}_{q_3}(T)} \|\mathbf{1}_{A(t,x;k)}\|_{{\mathbb{L}}^{p^*_3}_{q^*_3}})$，其中常数 $C$ 依赖于 $d,p_i,q_i,\varepsilon$ 和 $b_1$。
• 该结果可推广至 $b \in \widetilde{\mathbb{L}}^{p_1}_{q_1}(T)$ 且满足 $d/p_1 + 2/q_1 < 1$ 的情形，且 $\|\text{div}\,b\|_{\widetilde{\mathbb{L}}^{p_2}_{q_2}(T)}$ 有限，常数依赖于 $b$ 和 $\text{div}\,b$ 的范数。