[论文解读] Several special complex structures and their deformation properties

Sheng Rao, Quanting Zhao|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 45被引用 3

一句话总结

本文提出了一种复流形上复微分形式及其无穷小形变的新型扩展映射，推广了Liu、Yang与Rao的扩展公式。在广泛条件下建立了Hodge数的形变不变性，并证明在凯勒族中，一般纤维的Gauduchon锥的极限包含于中心纤维Gauduchon锥的闭包中，其应用涵盖Moishezon与sGG流形。

ABSTRACT

We introduce a natural map from the space of pure-type complex differential forms on a complex manifold to the corresponding one on the infinitesimal deformations of this complex manifold. By use of this map, we generalize an extension formula in a recent work of K. Liu, X. Yang and the first author. As direct corollaries, we prove several deformation invariance theorems for Hodge numbers. Moreover, we also study the Gauduchon cone and its relation with the balanced cone in the Kähler case, and show that the limit of the Gauduchon cone in the sense of D. Popovici for a generic fiber in a Kählerian family is contained in the closure of the Gauduchon cone for this fiber.

研究动机与目标

• 通过从复流形上的形式到其无穷小形变上形式的新映射，推广形变理论中复微分形式的扩展公式。
• 利用幂级数方法，证明Hodge数 $h^{p,q}_{\bar\epsilon_t}(X_t)$ 及其特例 $h^{p,0}(X_t)$、$h^{0,q}(X_t)$ 的形变不变定理。
• 研究凯勒情形下Gauduchon锥 $\mathcal{G}_X$ 与其平衡锥 $\mathcal{B}_X$ 的关系。
• 研究凯勒流形族中Gauduchon锥的极限行为，特别是与中心纤维锥闭包的关系。

提出的方法

• 引入从复流形上纯类型复微分形式空间到其无穷小形变上对应空间的自然映射。
• 利用关键引理2.4，推导出形变纤维上 $\bar\partial_t$ 算子的新公式：$\bar\partial_t f = e^{i_{\bar\varphi}} \big( (\mathds{1} - \bar\varphi\varphi)^{-1} \lrcorner (\bar\partial - \varphi \lrcorner \partial)f \big)$。
• 应用幂级数方法，重新证明Hodge数形变不变性，类比Kodaira-Spencer的稳定性结果。
• 利用当前理论与Bott-Chern上同调，分析凯勒流形中Gauduchon锥 $\mathcal{G}_X$ 与其平衡锥 $\mathcal{B}_X$ 的关系。
• 运用Barlet的解析周期理论与极限论证，证明对 $\tau \in \Delta_\epsilon \setminus \bigcup S_\nu$，有 $\lim_{t\to\tau} \mathcal{G}_{X_t} \subseteq \overline{\mathcal{G}}_{X_\tau}$。
• 利用凯勒结构的稳定性及光滑凯勒度量 $\tilde{\alpha}_\delta(t)$ 的存在性，证明对所有 $d$-闭正则 $(1,1)$-当前 $T$，有 $\int_{X_\tau} \Omega \wedge T \geq 0$，从而推出 $[\Omega]_A \in \overline{\mathcal{G}}_{X_\tau}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 复流形上复微分形式的扩展映射是否能以保持上同调结构的方式延拓至其无穷小形变？
• RQ2 能否通过幂级数方法在一般设定下证明Hodge数 $h^{p,q}_{\bar\partial_t}(X_t)$ 的形变不变性？
• RQ3 在凯勒情形下，Gauduchon锥 $\mathcal{G}_X$ 与平衡锥 $\mathcal{B}_X$ 之间有何关系？
• RQ4 在凯勒族中，一般纤维的Gauduchon锥在参数趋近中心纤维时的极限行为如何？
• RQ5 在何种条件下，一般纤维Gauduchon锥的极限位于中心纤维Gauduchon锥的闭包之内？

主要发现

• 该扩展映射推广了Liu、Yang与Rao的公式，使得能够通过新幂级数方法证明Hodge数 $h^{p,q}_{\bar\partial_t}(X_t)$ 的形变不变性。
• 本文证明了在 $\overline{\mathcal{K}}_{X_\tau} = \mathcal{E}_{X_\tau}$ 条件下，对凯勒流形的全纯族有 $\lim_{t\to\tau} \mathcal{G}_{X_t} \subseteq \overline{\mathcal{G}}_{X_\tau}$。
• 对于具有拟正切丛的凯勒纤维 $X_\tau$，该包含关系成立，因为此时拟正锥与伪有效锥重合。
• 证明依赖于用满足 $\alpha_\delta \geq -\delta \omega_\tau$ 的光滑Bott-Chern代表元 $\alpha_\delta$ 近似 $d$-闭正则 $(1,1)$-当前，并利用凯勒结构的稳定性将这些代表元提升至邻近纤维。
• 证明了对所有 $d$-闭正则 $(1,1)$-当前 $T$，有 $\int_{X_\tau} \Omega \wedge T \geq 0$，根据引理4.11，这意味着 $[\Omega]_A \in \overline{\mathcal{G}}_{X_\tau}$。
• 该结果确认了Popovici猜想的关键部分：若中心纤维满足 $(0,1)$-Hodge数形变不变性或存在强Gauduchon度量，且一般纤维为射影的，则中心纤维是Moishezon流形。