[论文解读] Similarity Flow Solutions of a Non-Newtonian Power-law Fluid

Mohamed Guedda, Zakia Hammouch|ArXiv.org|Apr 2, 2009

Fluid Dynamics and Turbulent FlowsEngineering参考文献 19被引用 18

一句话总结

本文通過廣義相似變換研究了非牛頓幂律流體在拉伸平板上穩態層流邊界層流動的相似解。證明了剪切增稠流體（n > 1）存在無限多個全域無界解，並推導其漸近行為，顯示解的增長行為對幂律指數n和拉伸指數m極為敏感。

ABSTRACT

In this paper we present a mathematical analysis for a steady-state laminar boundary layer flow, governed by the Ostwald-de Wael power-law model of an incompressible non- Newtonian fluid past a semi-infinite power-law stretched flat plate with uniform free stream velocity. A generalization of the usual Blasius similarity transformation is used to find similarity solutions [1]. Under appropriate assumptions, partial differential equations are transformed into an autonomous third-order nonlinear degenerate ordinary differential equation with boundary conditions. Using a shooting method, we establish the existence of an infinite number of global unbounded solutions. The asymptotic behavior is also discussed. Some properties of those solutions depend on the viscosity power-law index.

研究动机与目标

• 將多重相似解的分析從牛頓流體推廣至非牛頓幂律流體。
• 研究剪切增稠流體（n > 1）的全域無界解的存在性與漸近行為。
• 探討幂律指數n與拉伸指數m如何影響解的結構以及衰減/增長速率。
• 將Blasius相似變換推廣至非牛頓流變性下的幂律流體。

提出的方法

• 應用廣義相似變換，將二維邊界層PDE降為帶邊界條件的三階非線性ODE。
• 變換使用與拉伸指數m和流體指數n相關的幂律尺度，對流函數與相似變數進行處理。
• 所得ODE形式為 (|f''|^{n-1}f'')' + αff'' - m(f')² = 0，邊界條件為 f(0) = a, f'(0) = b, f'(∞) = 0。
• 採用射擊法證明當 m ∈ (−2α, 0) 且 n > 1 時，全域無界解的存在性。
• 透過能量型泛函與相平面技術進行漸近分析，推導長時間行為。
• 利用Lyapunov型函數與積分估計，證明解在無窮遠處收斂至幂律增長。

实验结果

研究问题

• RQ1 在拉伸平板上的非牛頓幂律流體邊界層流動中，是否存在多個全域無界相似解？
• RQ2 幂律指數n如何影響這些解的存在性與漸近行為？
• RQ3 當 t → ∞ 時 f(t) → ∞，解的長時間行為為何？其依賴於m與n的關係為何？
• RQ4 射擊法是否可用於證明非牛頓流體在經典Blasius情形以外的解的存在性？

主要发现

• 當 m ∈ (−2α, 0) 且 n > 1 時，該問題存在無限多個全域無界相似解。
• 當 f(t) → ∞（t → ∞）時，解的漸近增長形式為 f(t) ∼ t^{α/(α−m)}(A + o(1))，其中 A > 0。
• 漸近增長速率取決於幂律指數n與拉伸指數m的共同作用。
• 在特殊情形 m = −α 時，解在無窮遠處表現為 f(t) ∼ t^{1/2}，顯示增長更為緩慢。
• 解的存在性透過射擊法建立，並對ODE在無窮遠處的行為進行嚴謹分析。
• 漸近行為透過積分估計與Lyapunov型泛函推導，確保解收斂至幂律增長。