[论文解读] Simulating Quantum Circuits with Sparse Output Distributions

Martin Schwarz, Maarten Van den Nest|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2013

Machine Learning and Algorithms参考文献 32被引用 12

一句话总结

本文表明，具有近似稀疏输出分布的量子线路——即仅有多项式数量的测量结果具有显著概率——可以被经典高效模拟。通过结合稀疏傅里叶变换技术（尤其是Kushilevitz-Mansour算法）与计算可处理态的经典模拟方法，作者证明此类线路（包括傅里叶采样和IQP线路）可实现多项式时间的经典模拟，表明过度的振幅抵消（破坏性干涉）会阻止指数级量子加速。

ABSTRACT

We show that several quantum circuit families can be simulated efficiently classically if it is promised that their output distribution is approximately sparse i.e. the distribution is close to one where only a polynomially small, a priori unknown subset of the measurement probabilities are nonzero. Classical simulations are thereby obtained for quantum circuits which---without the additional sparsity promise---are considered hard to simulate. Our results apply in particular to a family of Fourier sampling circuits (which have structural similarities to Shor's factoring algorithm) but also to several other circuit families, such as IQP circuits. Our results provide examples of quantum circuits that cannot achieve exponential speed-ups due to the presence of too much destructive interference i.e. too many cancelations of amplitudes. The crux of our classical simulation is an efficient algorithm for approximating the significant Fourier coefficients of a class of states called computationally tractable states. The latter result may have applications beyond the scope of this work. In the proof we employ and extend sparse approximation techniques, in particular the Kushilevitz-Mansour algorithm, in combination with probabilistic simulation methods for quantum circuits.

研究动机与目标

• 识别具有潜在难以模拟结构的量子线路在何种条件下可实现经典可模拟性。
• 研究输出分布稀疏性——即仅有多项式数量的结果具有显著概率——是否能实现高效经典模拟。
• 阐明干涉与振幅抵消在阻止指数级量子加速中的作用。
• 将稀疏逼近技术（特别是Kushilevitz-Mansour算法）扩展至量子态模拟。
• 为具有QFT-Toffoli-QFT⁻¹结构的量子线路（如Shor算法中的线路）提供经典模拟框架。

提出的方法

• 利用Kushilevitz-Mansour算法高效近似量子态中显著的傅里叶系数。
• 将随机化经典模拟技术应用于计算可处理（CT）态，以估计输出概率。
• 使用稀疏傅里叶变换（SFT）方法识别输出分布中多项式数量的显著测量结果。
• 采用概率模拟方法，以有界误差估计高概率计算基态的振幅。
• 将显著振幅的相位估计算法与概率质量重构相结合，构建量子输出态的近似经典表示。
• 将现有稀疏逼近框架扩展至处理具有结构化QFT和可逆门的量子线路。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有近似稀疏输出分布的量子线路能否被高效经典模拟？
• RQ2 破坏性干涉（即振幅抵消）在限制量子加速中起什么作用？
• RQ3 输出分布的稀疏性在具有QFT-Toffoli-QFT⁻¹结构的线路中在多大程度上减少了量子优势？
• RQ4 稀疏傅里叶变换技术能否被调整以模拟具有结构化酉演化特性的量子线路？
• RQ5 当仅有少量主导测量结果时，其存在在何种条件下意味着经典可模拟性？

主要发现

• 具有近似稀疏输出分布的量子线路——即仅有O(poly(n))个结果的概率为Ω(1/poly(n))——可在多项式时间内实现经典模拟。
• 经典模拟的运行时间是poly(n, 1/ε, log(1/δ))，其中ε控制近似误差，δ控制失败概率。
• 该方法在真实输出态与经典模拟结果之间的迹距离上实现了O(√ε)的近似误差。
• Shor算法不满足稀疏性假设，因其输出分布是超多项式平坦的，这解释了其为何抵抗经典模拟。
• 结果表明，指数级量子加速需要输出分布具有超多项式大小的支撑集，而不仅仅是少数主导结果。
• 该框架可扩展至IQP线路和傅里叶采样线路，表明在稀疏性假设下，其经典可模拟性得到保证。