[论文解读] Soft Somewhat Continuous and Soft Somewhat Open Functions

Zanyar A. Ameen, Baravan A. Asaad+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2021

Fuzzy and Soft Set TheoryDecision Sciences被引用 20

一句话总结

本文通過軟內部算子引入了軟幾乎開集，並定義了軟幾乎連續與軟幾乎開函數，作為軟半連續與軟半開函數的推廣。主要貢獻在於證明軟幾乎同胚不保持標準軟拓撲性質，如軟度量性、緊緻性或豪斯多夫性，突顯其與經典軟同胚的根本差異。

ABSTRACT

In this paper, we define a soft somewhat open set using the soft interior operator. We study main properties the class of soft somewhat open sets that is contained in the class soft somewhere dense sets. Then, we introduce the classes of soft somewhat continuous and soft somewhat open functions and soft somewhat homeomorphisms. Moreover, we study properties and characterizations of soft somewhat continuous and soft somewhat open functions. At last, we discuss topological invariants for soft somewhat homeomorphisms. Multiple examples are offered to clarify some invalid results.

研究动机与目标

• 透過軟內部算子定義並研究軟幾乎開集。
• 引入並特徵化軟幾乎連續與軟幾乎開函數，作為軟半連續與軟某處稠密連續之間的中介概念。
• 定義軟幾乎同胚，並探討其與拓撲不變性的關係。
• 證明軟幾乎同胚不保持標準軟拓撲性質，如軟度量性、緊緻性或豪斯多夫性。

提出的方法

• 將軟幾乎開集定義為其軟內部在陪域中非空的集合。
• 透過軟開集的原像為軟幾乎開集，引入軟幾乎連續函數。
• 將軟幾乎開函數定義為將非空軟開集映射至軟內部非空集合的函數。
• 建立軟幾乎開集與其他推廣軟開集（如軟半開集與軟β-開集）之間的關係。
• 證明軟幾乎開函數弱於軟半開函數，但強於軟某處稠密開函數。
• 使用反例證明軟幾乎同胚不保持軟拓撲性質，如度量性、局部緊緻性或T₀分離公設。

实验结果

研究问题

• RQ1 軟幾乎開集與其他推廣軟開集（如軟半開集與軟β-開集）之間有何關係？
• RQ2 函數為軟幾乎連續或軟幾乎開的必要與充分條件為何？
• RQ3 軟幾乎同胚是否能保持標準軟拓撲性質，如軟緊緻性或軟豪斯多夫性？
• RQ4 軟幾乎同胚對軟拓撲結構不變性有何影響？
• RQ5 軟幾乎開集與軟某處稠密集在包含關係與獨立性方面有何比較？

主要发现

• 軟幾乎開集包含於軟某處稠密集類中，但與軟β-開集獨立。
• 軟幾乎連續函數弱於軟半連續函數，但強於軟某處稠密連續函數。
• 軟幾乎開函數弱於軟半開函數，但強於軟某處稠密開函數。
• 軟幾乎同胚不保持軟度量性、軟局部緊緻性或軟連通性，反例已證明。
• 從ℝ上的標準軟拓撲到軟索羅門弗雷線的恆等映射是軟幾乎同胚，但陪域不具備軟度量性與軟局部緊緻性。
• 軟幾乎同胚亦不保持分離公設，反例顯示一軟T₀空間雖為軟幾乎同胚的像，卻非軟T₁空間。