[论文解读] Source Spaces and Perturbations for Cluster Complexes

François Charest|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 36被引用 8

一句话总结

本文引入由带标记复圆盘通过度量线段连接构成的源空间，以构建簇复形的非对称与对称模空间。它在 Floer 轨迹上提供了相容的扰动，从而通过 Morse 理论实现对 $Pin_{\pm}$ 单调拉格朗日子流形上受阻 $A_{\infty}$-结构的替代构造，其中由 Morse 函数的临界点所诱导的 $A_{\infty}$-代数结构是同伦不变的，并且在诺维科夫环上链复形的同伦范畴中是函子性的。

ABSTRACT

We define objects made of marked complex disks connected by metric line segments and construct nonsymmetric and symmetric moduli spaces of these objects. This allows choices of coherent perturbations over the corresponding versions of the Floer trajectories proposed by Cornea and Lalonde. These perturbations are intended to lead to an alternative description of the (obstructed) $A_\infty$-structures studied by Fukaya, Oh, Ohta and Ono. Given a $Pin_{\pm}$ monotone lagrangian submanifold $L \subset (M,ω)$ with minimal Maslov number $N_L \geq 2$, we define an $A_\infty$-algebra (resp. differential graded algebra) structure from the critical points of a generic Morse function on $L$. It is written as a cochain (resp. chain) complex extending the pearl complex introduced by Oh and further explicited by Biran and Cornea, equipped with its quantum product. We verify that the construction is homotopy invariant, defining a functor from a homotopy category of $Pin_{\pm}$ monotone lagrangian submanifolds $h\mathcal{L}^{mono, \pm}(M,ω)$ to the homotopy category of cochain (resp. chain) complexes $hK(Λ ext{-mod})$ where $Λ$ is a Novikov ring with coefficients in $\mathbb{Z}$.

研究动机与目标

• 通过 Morse 理论与扰动的 Floer 轨迹，为 $Pin_{\pm}$ 单调拉格朗日子流形上的 $A_{\infty}$-结构构建新框架。
• 通过由带标记圆盘与度量线段构成的源空间，在 Floer 轨迹的模空间上定义相容扰动。
• 在 $Pin_{\pm}$ 单调拉格朗日子流形的同伦范畴与诺维科夫环上链复形的同伦范畴之间建立同伦不变函子。
• 通过引入量子乘积与 Morse 理论数据，推广珍珠复形构造。
• 使用几何与拓扑工具，提供 Fukaya、Oh、Ohta 与 Ono 所定义受阻 $A_{\infty}$-结构的替代描述。

提出的方法

• 从通过度量线段连接的带标记复圆盘构造 $\otimes$-簇与绗缝 $\otimes$-簇的模空间。
• 定义通用曲线以及这些模空间上的端点与扰动的相容系统，以确保横截性。
• 引入 $\widetilde{Gl_n(\mathbb{R})}^{\pm}$-结构与定向系统，以处理模空间中的定向问题。
• 利用 $L$ 上 Morse 函数的负梯度流线定义链复形中的微分，符号由稳定流形的定向决定。
• 应用 Floer 轨迹的正则性结果，分解模空间，并分析 $n \geq 3$ 与 $n \leq 2$ 的情形。
• 建立 $\otimes$-簇复形之间态射与同伦的范畴化表述，从而实现函子性构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在存在障碍的情况下，利用几何源空间构造 Floer 轨迹的相容扰动？
• RQ2 能否通过在通用 Morse 函数的临界点上使用 Morse 理论数据，重构 $Pin_{\pm}$ 单调拉格朗日子流形上的 $A_{\infty}$-结构？
• RQ3 在 $L$ 上 Morse 函数的临界点上得到的 $A_{\infty}$-代数结构是否为同伦不变且函子性？
• RQ4 $\otimes$-簇与绗缝 $\otimes$-簇的模空间在 Morse 理论与 Floer 理论中如何与 Stasheff 关联多面体及多乘多面体相关联？
• RQ5 相容定向与扰动在确保微分平方为零、以及上同调计算 $L$ 的奇异上同调方面起什么作用？

主要发现

• 该构造在 $Pin_{\pm}$ 单调拉格朗日子流形 $L$ 上通用 Morse 函数的临界点生成的链复形上，给出了一个 $A_{\infty}$-代数结构，其中 $N_L \geq 2$。
• 微分 $\delta$ 满足 $\delta \circ \delta = 0$，确保复形定义良好，并计算奇异上同调 $H^*(L, \mathbb{Z})$。
• 所得的 $A_{\infty}$-结构是同伦不变的，并定义了从 $h\mathcal{L}^{\text{mono},\pm}(M,\omega)$ 到 $hK(\Lambda\text{-mod})$ 的函子，其中 $\Lambda$ 是 $\mathbb{Z}$ 上的诺维科夫环。
• 扰动是相容的且与源空间的几何兼容，从而允许定义具有良好行为的伪全纯曲线模空间。
• 该方法通过梯度线与伪全纯曲线的树状配置，将珍珠复形扩展至包含量子修正与高阶运算。
• 本文通过绗缝 $\otimes$-簇的模空间，实现了多乘多面体及其复化形式的几何实现，从而将 Morse 理论与 Floer 理论联系起来。