[论文解读] Speculations on homological mirror symmetry for hypersurfaces in $(\mathbb{C}^*)^n$

Denis Auroux|arXiv (Cornell University)|May 18, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文提出了 $(\mathbb{C}^*)^n$ 中超曲面的丰富同调镜像对称框架，将超曲面 $H = f^{-1}(0)$ 的卷绕 Fukaya 类与其中镜像 Landau-Ginzburg 模型的奇点导出范畴联系起来，同时还将卷绕 Fukaya 类纳入超曲面的补集 $(\mathbb{C}^*)^n \setminus H$ 和镜像的 Fukaya-Seidel 类。关键贡献是通过 $A_\infty$-结构约束和 Fukaya 类中的精确三角形关系，证明了高维裤形对的同调镜像对称。

ABSTRACT

Given an algebraic hypersurface $H=f^{-1}(0)$ in $(\mathbb{C}^*)^n$, homological mirror symmetry relates the wrapped Fukaya category of $H$ to the derived category of singularities of the mirror Landau-Ginzburg model. We propose an enriched version of this picture which also features the wrapped Fukaya category of the complement $(\mathbb{C}^*)^n\setminus H$ and the Fukaya-Seidel category of the Landau-Ginzburg model $((\mathbb{C}^*)^n,f)$. We illustrate our speculations on simple examples, and sketch a proof of homological mirror symmetry for higher-dimensional pairs of pants.

研究动机与目标

• 将同调镜像对称扩展至包含超曲面 $H$ 的卷绕 Fukaya 类以及补集 $(\mathbb{C}^*)^n \setminus H$ 的卷绕 Fukaya 类，同时涵盖镜像 Landau-Ginzburg 模型的 Fukaya-Seidel 类。
• 建立一个猜想的交换图，连接奇异纤维 $Z = W^{-1}(0)$ 上的凝聚层导出范畴、奇点导出范畴 $D^b_{\text{sg}}(Z)$，以及 $H$ 和 $(\mathbb{C}^*)^n \setminus H$ 的卷绕 Fukaya 类。
• 通过验证拉格朗日子球在特定分次和乘积约束下的 $A_\infty$-结构，证明高维裤形对的同调镜像对称。
• 通过归纳法与对称性，证明 $n$-维裤形 $\Pi_n$ 的卷绕 Fukaya 类由拉格朗日子 $L_{\{i\}}$（$i = 0, \dots, n+1$）分裂生成。

提出的方法

• 镜像构造利用洛朗多项式 $f$ 的热带化，定义分段线性函数 $\varphi(\xi) = \max_{\alpha \in A} \langle \alpha, \xi \rangle - \rho(\alpha)$，该函数生成镜像 toric 代数簇 $Y$ 的矩量多面体 $\Delta_Y \subset \mathbb{R}^{n+1}$。
• 镜像 Landau-Ginzburg 模型定义为 $((\mathbb{C}^*)^n, f)$，其超势能为 $W = -z^{(0,\dots,0,1)}$，其零点集 $Z = W^{-1}(0)$ 是所有 toric 除子 $Z_\alpha$ 的并集。
• 本文通过将 $\Pi_{n-1}$ 嵌入 $f = -x_0/x_{n+1}$ 的纤维中，构造从 $\mathcal{W}(\Pi_{n-1})$ 到 $\mathcal{W}(\Pi_n)$ 的函子 $j$，该函子将生成元 $v_I$ 映射为 $u_I$，并保持精确三角形结构。
• $\bigoplus_{I,J} HW^*(L_I, L_J)$ 上的 $A_\infty$-结构受两个条件约束：(1) 分次相容性，要求输出相对于输入之和在每个变量上相差 $(2-k)/2$；(2) $\mu^3(u_I, u_J, u_K) = \pm \mathrm{id}$，其中 $I \sqcup J \sqcup K = \{0,\dots,n+1\}$。
• 证明依赖于归纳法与 $\mathfrak{S}_{n+2}$-对称性，将问题约化为 $\{0, n+1\} \subset K$ 的情形，并利用 $j(v_{K'}) = u_K$ 的事实，这是由于绕 $f$ 的基点集缠绕所致。
• 通过证明函子 $j$ 和 $\alpha_\infty$ 的像生成所有 $L_{\{i\}}$，并利用精确三角形关系说明任意两个生成元可生成第三个，从而确立 $\mathcal{W}(\Pi_n)$ 的分裂生成性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将同调镜像对称扩展，以包含补集 $(\mathbb{C}^*)^n \setminus H$ 的卷绕 Fukaya 类，而不仅限于超曲面 $H$？
• RQ2 镜像 Landau-Ginzburg 模型的奇点导出范畴 $D^b_{\text{sg}}(Z)$ 与 $H$ 的卷绕 Fukaya 类之间的确切关系是什么？
• RQ3 能否通过分次约束和 $\mu^3$-关系 $\mu^3(u_I, u_J, u_K) = \pm \mathrm{id}$ 唯一确定 $n$-维裤形的卷绕 Floer 上同调上的 $A_\infty$-结构？
• RQ4 $n$-维裤形的卷绕 Fukaya 类是否由拉格朗日子 $L_{\{i\}}$（$i = 0, \dots, n+1$）分裂生成？
• RQ5 将 $\Pi_{n-1}$ 嵌入 $f = -x_0/x_{n+1}$ 的纤维中，如何诱导出 $\Pi_{n-1}$ 与 $\Pi_n$ 的卷绕 Fukaya 类之间的函子？

主要发现

• 本文证明了 $n$-维裤形 $\Pi_n$ 的卷绕 Fukaya 类 $\mathcal{W}(\Pi_n)$ 由拉格朗日子 $L_{\{i\}}$（$i = 0, \dots, n+1$）分裂生成，方法为归纳法与对称性。
• $\bigoplus_{I,J} HW^*(L_I, L_J)$ 上的 $A_\infty$-结构由分次条件与 $\mu^3$-关系 $\mu^3(u_I, u_J, u_K) = \pm \mathrm{id}$ 唯一确定，与猜想 9.6 一致。
• 从 $\mathcal{W}(\Pi_{n-1})$ 到 $\mathcal{W}(\Pi_n)$ 的函子 $j$ 将生成元 $v_I$ 映射为 $u_I$，并保持精确三角形结构，且由于绕 $f$ 的基点集缠绕，有 $j(v_{K'}) = u_K$。
• $\Pi_n$ 的同调镜像对称的证明依赖于包含 $\mathcal{W}((\mathbb{C}^*)^n \setminus H)$、$D^b_{\text{sg}}(Z)$ 和 $\mathcal{W}(H)$ 的交换图，其中后一等价性通过 $A_\infty$-结构与分裂生成性建立。
• $n=1$ 的情形通过 Hochschild 上同调验证，更高维情形通过 $\mathfrak{S}_{n+2}$-对称性与归纳法约化至此。
• 镜像 Landau-Ginzburg 模型 $((\mathbb{C}^*)^n, f)$ 的超势能为 $W = -z^{(0,\dots,0,1)}$，其在每个 toric 除子 $Z_\alpha$ 上一阶为零，因此 $W^{-1}(0) = \bigcup_{\alpha \in A} Z_\alpha$。