[论文解读] Stacky Hamiltonian actions and symplectic reduction

Benjamin Hoffman, Reyer Sjamaar+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 29被引用 3

一句话总结

本文将经典辛几何定理——Kirwan凸性定理、Meyer-Marsden-Weinstein约化以及Duistermaat-Heckman定理——推广至由可去李群胚堆在可去辛堆上的哈密顿作用设定。文中引入了堆叠型的矩映射，并证明在某种洁净性条件下，矩映射的像为一个凸多面体，其法扇未必为有理扇，从而将Atiyah-Guillemin-Sternberg定理推广至非晶格共特征群的情形。该辛约化定理在无需紧致性或 proper 性假设下依然成立，且Duistermaat-Heckman定理被推广至约化形式的线性变化情形。

ABSTRACT

We introduce the notion of a Hamiltonian action of an étale Lie group stack on an étale symplectic stack and establish versions of the Kirwan convexity theorem, the Meyer-Marsden-Weinstein symplectic reduction theorem, and the Duistermaat-Heckman theorem in this context.

研究动机与目标

• 将Kirwan凸性定理推广至可去李群胚堆在可去辛堆上的哈密顿作用。
• 在不假设群胚堆紧致或 proper 的前提下，为这类作用建立辛约化定理。
• 将Duistermaat-Heckman定理推广至堆叠型环面作用，重点关注约化辛形式的线性变化。
• 为微分堆上的哈密顿作用发展基础工具，包括堆叠型李群、矩映射与基本微分形式。
• 证明每个简单堆叠型多面体均可作为某个环面辛堆的矩多面体，从而将环面代数堆推广至C∞-设定。

提出的方法

• 通过2-范畴框架下的0-辛群胚与矩映射，引入可去李群胚堆在可去辛堆上的哈密顿作用。
• 通过交叉模与李2-群定义堆叠型环面与极大堆叠型环面，容许非晶格共特征群。
• 应用Bott联络与叶层群胚上的基本微分形式，刻画横截辛结构。
• 利用Lie群胚堆的弱纤维积（基于C. Zhu的附录）构造并分析约化。
• 应用严格化定理（定理6.8.1）将一般堆叠型作用约化为严格作用，从而简化分析。
• 运用2-范畴与2-群作用理论，形式化高阶几何中的矩映射与等变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Kirwan凸性定理能否推广至可去李群胚堆在可去辛堆上的哈密顿作用，即使共特征群非晶格？
• RQ2 在何种条件下，可去李群胚堆对辛堆的哈密顿作用的辛约化结果仍为辛堆，且无需假设群堆或作用的紧致性或 proper 性？
• RQ3 Duistermaat-Heckman定理如何推广至堆叠型环面作用，特别是关于约化辛形式的变化？
• RQ4 在堆叠型环面作用下，矩映射像（即堆叠型矩体）的结构为何？其与经典有理多面体有何不同？
• RQ5 每个简单堆叠型多面体是否均可实现为某个环面辛堆的矩多面体？该构造与Prato的拟流形有何关联？

主要发现

• 在堆叠型环面作用下，矩映射的像为凸多面体，即使其法扇非有理扇，原因在于共特征群为拟晶格而非晶格。
• 在矩映射满足正则性假设的前提下，可去李群胚堆在可去辛堆上的哈密顿作用的辛约化定理成立，且无需群或作用的紧致性或 proper 性假设。
• Duistermaat-Heckman定理中约化辛形式的线性变化被推广至堆叠型环面作用，从而在堆叠设定中确立了经典定理的关键部分。
• 可去堆上的向量场的李2-代数与一个李代数等价，这是一个结构结果，简化了对称性分析。
• 一个严格化定理（定理6.8.1）表明每个堆叠型作用均与一个严格作用等价，从而可在高阶范畴语境中应用经典技术。
• 每个简单堆叠型多面体均可作为某个环面辛堆的矩多面体，推广了Prato的拟流形，并为代数环面堆提供了C∞-对应物。