[论文解读] Principal actions of stacky Lie groupoids

Henrique Bursztyn, Francesco Noseda+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2015

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 54被引用 6

一句话总结

本文提出了对不同iable堆栈上堆栈李群胚主作用的刻画，表明此类作用是主作用当且仅当作用-投影映射是弱可表示的。此条件确保商堆栈为不同iable堆栈，且投影构成主丛，将经典李群胚理论推广至高阶不同iable范畴，并为堆栈李群胚建立了莫蒂塔等价理论。

ABSTRACT

Stacky Lie groupoids are generalizations of Lie groupoids in which the "space of arrows" of the groupoid is a differentiable stack. In this paper, we consider actions of stacky Lie groupoids on differentiable stacks and their associated quotients. We provide a characterization of principal actions of stacky Lie groupoids, i.e., actions whose quotients are again differentiable stacks in such a way that the projection onto the quotient is a principal bundle. As an application, we extend the notion of Morita equivalence of Lie groupoids to the realm of stacky Lie groupoids, providing examples that naturally arise from non-integrable Lie algebroids.

研究动机与目标

• 将经典李群胚的主作用概念从李群胚推广至作用于不同iable堆栈的堆栈李群胚。
• 提供一种不依赖商空间的主性刻画，而基于作用的内在性质。
• 利用（双）主（双）丛，将莫蒂塔等价推广至堆栈李群胚。
• 建立堆栈李群胚作用的商堆栈为不同iable堆栈的充要条件，即作用-投影映射是弱可表示的。
• 证明当限制于普通李群胚时，该理论可恢复经典结果。

提出的方法

• 作者通过作用-投影映射的弱可表示性来定义堆栈李群胚在不同iable堆栈上的主作用，该映射为 $\mathcal{X} \times_M \mathcal{G} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}$。
• 他们引入了1-自由性（1-freeness）的概念，这是一种类似自由性的条件，编码于弱可表示性条件之中。
• 通过预商堆栈的堆栈化构造商堆栈 $\mathcal{X}/\mathcal{G}$，在弱可表示性条件下确保其不同iable性。
• 该理论利用2-范畴工具，包括自然变换与一致性条件，验证堆栈设定下主丛的结构。
• 作者使用双主双丛（biprincipal bibundles）的概念来定义堆栈李群胚的莫蒂塔等价，推广了经典李群胚情形。
• 他们证明堆栈双主双丛是可复合的，从而在堆栈设定下确立莫蒂塔等价为等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 堆栈李群胚 $\mathcal{G}$ 在不同iable堆栈 $\mathcal{X}$ 上的作用何时是主作用，即商堆栈为不同iable堆栈且投影为一个主丛？
• RQ2 能否在不依赖商空间的前提下，将经典主作用刻画（自由且完备）推广至堆栈设定？
• RQ3 如何利用主丛结构将莫蒂塔等价从普通李群胚推广至堆栈李群胚？
• RQ4 作用-投影映射的弱可表示性在确保商堆栈不同iable性方面起什么作用？
• RQ5 在何种条件下，堆栈李群胚作用的商堆栈继承不同iable堆栈的结构？

主要发现

• 堆栈李群胚 $\mathcal{G}$ 在不同iable堆栈 $\mathcal{X}$ 上的作用是主作用，当且仅当作用-投影映射 $\mathcal{X} \times_M \mathcal{G} \to \mathcal{X} \times \mathcal{X}$ 是弱可表示的。
• 弱可表示性条件同时编码了作用的1-自由性与商堆栈的不同iable性，提供了一个统一的判别准则。
• 当 $\mathcal{G}$ 为普通李群胚时，弱可表示性条件自动满足，从而恢复经典结果：任何光滑作用在流形上的作用在堆栈意义下都是主作用。
• 商堆栈 $\mathcal{X}/\mathcal{G}$ 恰好在作用-投影映射为弱可表示时继承不同iable堆栈的结构。
• 堆栈双主双丛是可复合的，这使得可将堆栈李群胚的莫蒂塔等价定义为等价关系。
• 该理论将莫蒂塔等价从普通李群胚推广至堆栈李群胚，为通过其关联堆栈群胚研究非可积李代数胚提供了框架。